Dejemos que $(\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t)_{t\geq 0},\mathbb P)$ un espacio de probabilidad filtrado que satisface las condiciones habituales y $\mathbb Q$ otra medida de probabilidad con $\mathbb P\ll\mathbb Q$ . Por el teorema de Radon-Nikodym sabemos de la existencia de un $\mathcal F$ -función medible $$\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$$ para que $\mathbb P(A)=\int_A \frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}d\mathbb Q$ para $A\in\mathcal F$ . Mi pregunta es, si ahora restringimos las medidas para cada $t$ a la sub- $\sigma$ -algebras $\mathcal F_t$ de la filtración, ¿qué podemos decir de los derivados de Radon Nikodym $$S_t:=\frac{\mathrm d\mathbb P|_{\mathcal F_t}}{\mathrm d\mathbb Q|_{\mathcal F_t}}. $$ Mi opinión es que el derivado de Radon Nikodym $S_t$ tiene que ser "muy similar" al "original $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$ , ya que sé de este puesto que si $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$ ya es $\mathcal F_t$ -medible, no cambiaría por la resticción. Pero, ¿qué podemos decir en genereal? ¿Existen resultados interesantes al respecto? También me gustaría tener una descripción pintoresca de cómo la restricción afecta a la derivada de Radon Nikodym. ¿Y podemos concluir de las "condiciones habituales" que la función $t\mapsto S_t$ ¿es càdlag?
EDITAR: Gracias al comentario de Kavi Rama Murthy, sé que $S_t$ es la expectativa condicional de $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$ dado $\mathcal F_t$ - para ser exactamente el condicional $\mathbb Q$ -expectativa. Aquí está mi prueba:
Para todos $A\in\mathcal F_t$ tiene $$\int_A \frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}\mathrm d\mathbb Q=\mathbb P(A)=\mathbb P|_{\mathcal F_t}(A)=\int_A \frac{\mathrm d\mathbb P|_{\mathcal F_t}}{\mathrm d\mathbb Q|_{\mathcal F_t}}\mathrm d\mathbb Q|_{\mathcal F_t}=\int_A \frac{\mathrm d\mathbb P|_{\mathcal F_t}}{\mathrm d\mathbb Q|_{\mathcal F_t}}\mathrm d\mathbb Q. $$ Así, sabemos que $S$ es un elemento uniformemente integrable $\mathbb Q$ -Martingale, es decir $$\forall 0\leq s\leq t:\mathbb E_{\mathbb Q}\left(\left.S_t\right|\mathcal F_s\right)=S_s\qquad\text{and}\qquad \mathbb E_{\mathbb Q}\left(\left.\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}\right|\mathcal F_t\right)=\frac{\mathrm d\mathbb P|_{\mathcal F_t}}{\mathrm d\mathbb Q|_{\mathcal F_t}}. $$ Esto responde bastante bien a la pregunta de en qué tipo $S$ y $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$ son similares. También por esto podemos afirmar $S$ ser càdlàg. Pero esto me lleva a una nueva pregunta: ¿Es $S$ también es una variable uniformemente integrable $\mathbb P$ -¿Martingale?
Aquí están mis pensamientos al respecto: Si tuviéramos la suposición adicional $\mathbb Q\ll\mathbb P$ (es decir, las medidas son equivalentes) y $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$ es $\mathbb P$ -integrable (o equivalente) $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}\in L^2(\mathbb Q)$ ), la afirmación se mantendría ya que $\mathbb E_{\mathbb Q}\left(\left.\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}\right|\mathcal F_t\right)=\mathbb E_{\mathbb P}\left(\left.\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}\right|\mathcal F_t\right)$ utilizando la regla de Baye para las expectativas condicionales.
Está claro que la condición $\frac{\mathrm d\mathbb P}{\mathrm d\mathbb Q}$ es $\mathbb P$ -integrable siempre se requiere, ya que estaría implícito por la propiedad martingala de todos modos. Pero creo que este requisito no se cumple en general, ¿verdad? El otro requisito $\mathbb Q\ll\mathbb P$ es muy restrictiva. Entonces, ¿es posible probar algo sin esto?
