Prueba: Simétrica y definida positiva

Question

Si $A$ es una matriz simétrica y definida positiva y la matriz $B$ tiene columnas linealmente independientes, ¿es cierto que $B^T A B$ es simétrica y definida positiva?

Answer 1

Sólo son pistas, porque es una pregunta de deberes:

Simétrico sólo significa $M^T=M$ . Dado $(AB)^T=B^TA^T$ La simetría debería ser fácil de comprobar para usted.

Si $B$ tiene columnas linealmente independientes, para $v\ne 0$ También tendrás $Bv\ne 0$ (¿por qué?). Así que dado $w=Bv$ ¿Qué es? $w^TAw$ ?

Answer 2

Si las matrices son reales sí: toma $x\in\Bbb C^d$ . Entonces $Bx\in \Bbb C^d$ por lo que $x^tB^tABx=(Bx)^tA(Bx)\geq 0$ y si $x\neq 0$ , como $B$ es invertible $Bx\neq 0$ . $A$ siendo positiva definida tenemos $x^tB^tABx>0$ .

Pero si las matrices son reales no es cierto: toma $A=I_2$ , $B:=\pmatrix{1&0\\0&i}$ entonces $B^tAB=\pmatrix{1&0\\0&-1}$ que no es positiva definida. Pero es cierto si se sustituye la transposición por el adjunto (conjugado de entrada de la transposición).