¿El valor del $\lim_{x \to 0-} x^x = 1$ ?

Question

Tengo el siguiente intento.

Dejemos que $x=-y$ entonces ${y \to 0+}$ como ${x \to 0-}$ .

Así que, $\displaystyle\lim_{x \to 0-} {x}^{x}$ = $\displaystyle\lim_{y \to 0+} {(-y)}^{(-y)} = \displaystyle\lim_{y \to 0+} \dfrac{1}{{(-y)}^{y}}= \displaystyle\lim_{y \to 0+} \dfrac{1}{{(-1)}^{y}.{y}^{y}}=\displaystyle\lim_{y \to 0+} \dfrac{1}{{y}^{y}}$

Ahora como, $\displaystyle\lim_{y \to 0+} y^y =\displaystyle\lim_{y \to 0+} {e}^{y\ln{y}} = {e}^{\displaystyle\lim_{y \to 0+} y\ln{y}}={e}^{\displaystyle\lim_{y \to 0+} \frac{\ln{y}}{\frac{1}{y}}} = {e}^{\displaystyle\lim_{y \to 0+} \frac{\frac{1}{y}}{{-\frac{1}{y^2}}}} = {e}^{\displaystyle\lim_{y \to 0+} {-y}}=e^{0}=1$

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{y \to 0+} \dfrac{1}{{y}^{y}}=\dfrac{1}{1}=1$

Así que, $\displaystyle\lim_{x \to 0-} {x}^{x}=1$

¿Es correcto?

Answer 1

Para valores complejos de $z$ y $w$ tenemos por definición

$$\begin{align} z^w&=e^{w\log(z)}\\\\ &=e^{w\text{Log}(|z|)+iw\arg(z)}\tag1 \end{align}$$

donde $\text{Log}$ es la función logarítmica de las variables reales y $\arg(z)$ es el argumento multivalente de $z$ .

Utilizando $(1)$ revela para $x\in \mathbb{R}$ y $x<0$

$$\begin{align} \lim_{x\to 0^-}x^x&=\lim_{x\to 0^-}e^{x\text{Log}(|x|)+ix\arg(x)}\\\\ &=\lim_{x\to 0^-}x^{|x|}e^{ix(2n+1)\pi}\\\\ &=1 \end{align}$$

¡como se iba a mostrar!

Answer 2

Dejemos que $x<0$ . Sostiene que $x^x=e^{x\log x} = e^{x (\log(-x)+\pi i)} = e^{x\log(-x)}(\cos(\pi x) + i \sin (\pi x))$ . Y creo que puedes completar los detalles.