La velocidad angular $\vec{\omega}$ se encuentra a lo largo del eje de rotación. Y el momento angular $\vec{J}$ es el producto cruzado de $\vec{r} \times \vec{p}$ . Que según yo debería estar también a lo largo del eje de rotación. Pero he leído en un libro que la dirección del vector momento angular y el vector velocidad angular no son los mismos. ¿Por qué es así?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La fórmula que ha especificado $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$ es la definición del momento angular de una partícula puntual respecto a un punto P. En este caso, por supuesto, el momento angular y la velocidad angular tienen la misma dirección. Cuando se trata de cuerpos rígidos (conjuntos de muchas partículas puntuales), se demuestra que el momento angular completo correcto es:
$$ \vec{L} = I \vec{\omega} $$ donde en general $I$ es un tensor (una matriz para simplificar) que depende de la forma y la distribución de la masa del cuerpo rígido, llamado tensor de inercia. Es posible, en general, que una vez elegido un marco de referencia (digamos con $\omega$ paralela a la $\hat{z}$ eje), el tensor de inercia puede ser diagonal o no en esa base. Si es diagonal, entonces $\vec{L}$ es paralelo a $\vec{\omega}$ Si no es así, no lo es. Como ejemplo, se puede considerar un cilindro obligado a girar alrededor de un eje que no es paralelo a ninguno de sus ejes principales de simetría.
Espero haber respondido correctamente a su pregunta; si no es así, pida detalles.
Frank Waller
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La respuesta aportada por @Matteo es una explicación correcta. Sin embargo, quería ampliar la ecuación proporcionada $$\mathbf L=\hat I\boldsymbol\omega$$ donde $\mathbf L$ es el momento angular del cuerpo rígido, $\hat I$ es el tensor de momento de inercia y $\boldsymbol \omega$ es el vector de velocidad angular del cuerpo rígido. Si escribimos esta ecuación explícitamente para tres dimensiones tenemos:
\begin{equation} \begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \\ \end{bmatrix} \end{equation}
Cada elemento del tensor de momento de inercia viene dado por $$I_{jk}=\int\rho(\mathbf r)\left(r^2\delta_{jk}-jk\right)\text dV$$ donde $\delta_{jk}$ es el Delta de Kronecker y $\rho$ es la función de densidad de masa. Por ejemplo: $$I_{xx}=\int\rho(\mathbf r)(y^2+z^2)\text dV$$ $$I_{xy}=-\int\rho(\mathbf r)xy\ \text dV$$ y así sucesivamente.
Así que ahora vamos a preguntar, en la línea de su pregunta, lo que debe ser cierto para que $\mathbf L$ y $\boldsymbol\omega$ ¿apuntan en la misma dirección? Bueno, si dos vectores apuntan en la misma dirección, entonces debe ser que uno es un múltiplo constante de otro. Por lo tanto, para alguna constante $\lambda$ debemos tener $$\mathbf L=\lambda\boldsymbol\omega$$ Usando nuestra primera ecuación esto debe significar que: $$\hat I\boldsymbol\omega=\lambda\boldsymbol\omega$$
Este es un tipo de ecuación importante que se ve mucho en el álgebra lineal y sus aplicaciones. Matemáticamente, esto significa que queremos $\mathbf\omega$ sea un vector propio de $\hat I$ con un valor propio de $\lambda$ . Físicamente, esto significa que si giramos nuestro objeto alrededor de un eje tal que $\hat I\mathbf\omega=\lambda\mathbf\omega$ (este tipo de ejes se denominan "ejes principales") entonces nuestros vectores de momento angular y velocidad angular apuntarán en la misma dirección. Si no es así, entonces nuestros dos vectores apuntarán en direcciones diferentes.
Cabe mencionar que en las clases típicas de introducción a la física solemos operar sólo con coordenadas alineadas con los ejes principales, que coinciden con los ejes de simetría de los volúmenes que se suelen considerar (esto hace que nuestro tensor de momento de inercia sea una matriz diagonal). Por ejemplo, al ver que el momento de inercia de un disco es $\frac12MR^2$ lo que esto realmente te dice es $I_{zz}=\frac12MR^2$ y sólo consideramos el disco que gira alrededor de este eje de forma que $\boldsymbol\omega=\omega_z\hat z$ . Por lo tanto, nuestra ecuación se convierte en
\begin{equation} \begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_{zz}\omega_z \\ \end{bmatrix} \end{equation}
Así que, en otras palabras, $\mathbf L=I_{zz}\omega_z\hat z=\frac12MR^2\omega_z\hat z$ .
Louis Gerbarg
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La cantidad física que relaciona el momento angular $\mathbf{J}$ y el vector de velocidad angular $\boldsymbol{\omega}$ es el momento de inercia. Sin embargo, esta cantidad no es un escalar. Un escalar no dependería del sistema de coordenadas. En lo que sigue se supone que el eje de rotación estará a lo largo de la dirección z. A continuación, observe el siguiente ejemplo: Girar un cilindro de densidad de masa uniforme y longitud $l$ alrededor de su eje de simetría. En este caso el momento de inercia es
$$I =\frac{1}{2}mr^2$$
donde $m$ es la masa del cilindro y $r$ su radio. Ahora gira el cilindro para que el eje de rotación sea $90^{\circ}$ perpendicular al eje de simetría. El momento de inercia no es el mismo.
$$I =\frac{1}{4}mr^2 +\frac{1}{12}ml^2$$
Si se vuelve a girar el cilindro de forma que el eje de rotación (eje z) sea el tercer eje del cilindro (también perpendicular al eje de simetría) es idéntico al segundo caso. Por tanto, dependiendo de la orientación del cilindro en el sistema de coordenadas elegido, el momento de inercia del cilindro es diferente.
Este comportamiento del momento de inercia puede expresarse mediante la siguiente matriz diagonal (aquí se supone que el eje de simetría del cilindro está a lo largo de la dirección z.
$$I = \left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{4}mr^2 +\frac{1}{12}ml^2 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4}mr^2 +\frac{1}{12}ml^2 & 0 \\ 0 & 0 &\frac{1}{2}mr^2\end{array}\right)$$
Sin embargo, en estos casos, para cada eje elegido -- llamado eje principal -- $\,\,\,\boldsymbol{\omega}$ sigue siendo paralela a $\mathbf{J}$ .
La forma matricial de $I$ ya lo sugiere: El momento de inercia es en realidad un tensor y sólo si el sistema de coordenadas se elige para que coincida con los tres ejes principales de una determinada distribución de masas (aquí un cilindro) se puede escribir en forma de matriz diagonal. Si no es el caso, imagina un eje de rotación (que sigue siendo idéntico al eje z) que está inclinado $\neq 90^\circ$ a uno de los ejes principales del cuerpo (aquí un cilindro), la matriz $I$ se convierte en no diagonal y la relación entre $\boldsymbol{\omega}$ y $\mathbf{J}$ se hace más general:
$$ \mathbf{J}= I \cdot \boldsymbol{\omega}$$
donde el $\cdot$ es una multiplicación de productos matriciales. En este caso $\,\,\,\boldsymbol{\omega}$ ya no es paralelo a $\mathbf{J}$ .
