Demuestre que las raíces del polinomio $x^4 - px^3 + qx^2 - pqx + 1 = 0$ satisfacer una determinada relación

Question

Esta es la pregunta:

Si las raíces de la ecuación $$ x^4 - px^3 + qx^2 - pqx + 1 = 0 $$ son $\alpha, \beta, \gamma,$ y $\delta$ , demuestran que $$ (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha + \beta + \delta) (\alpha + \gamma + \delta)(\beta + \gamma + \delta) = 1. $$

Si hay más de una manera de hacerlo, por favor, indíquelo y puede indicar algunos buenos libros para este tema en particular.

$$ 1+x^4+\text{qx}^2-\text{px}^3-\text{pqx} \equiv x^4+x^3 (-\alpha -\beta -\gamma -\delta )+x^2 (\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta )+x (-\alpha \beta \gamma -\alpha \beta \delta -\alpha \gamma \delta -\beta \gamma \delta )+\alpha \beta \gamma \delta $$

Así que, $$ \text{p} = \alpha+\beta +\gamma +\delta $$ $$ \text{q} = \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta $$ $$ \text{p}\text{q}=\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta $$ $$ 1= \alpha \beta \gamma \delta $$

Answer 1

Conocemos la factorización:

$f(x) = x^4 - px^3 + qx^2 - pqx + 1 = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta)$

Equiparación $x^3$ los coeficientes dan como resultado $\alpha + \beta + \gamma + \delta = p$ .

Así, podemos escribir la expresión en cuestión como

$(p - \delta)(p - \gamma)(p - \beta)(p - \alpha) = f(p) = 1$ .

Answer 2

Sin el truco de la respuesta de fretty (esencialmente reconocer que la expresión pedida se puede reescribir como $f(\alpha+\beta+\gamma+\delta)$ ) puede obtener el resultado a través del enfoque que había elegido originalmente. Para ello basta con expresar $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta+\delta)(\alpha+\gamma+\delta)(\beta+\gamma+\delta)$ que es claramente un polinomio simétrico de $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ en términos de los polinomios simétricos elementales (los lados derechos de sus cuatro ecuaciones; llámelos $e_1,e_2,e_3,e_4$ respectivamente).

La expansión del producto da $3^4=81$ términos, que pueden agruparse en polinomios simétricos mínimos (también llamados monomios), la suma de todas las permutaciones distintas de un monomio dado. Los denotaré por $m_\lambda$ donde $\lambda$ es el patrón de los exponentes; por ejemplo $m_{2,1,1}$ es la suma de monomios como $\alpha^2\beta\gamma$ o $\alpha\gamma^2\delta$ . Con esta notación se obtiene $$ (\alpha+\beta+\gamma) (\alpha+\beta+\delta) (\alpha+\gamma+\delta) (\beta+\gamma+\delta)= m_{3,1}+2m_{2,2}+4m_{2,1,1}+9m_{1,1,1,1}. $$ Ahora cada polinomio simétrico mínimo contiene el término principal de un producto único de polinomios simétricos elementales, como explicada aquí y esto lleva a las relaciones $$\begin{align} m_{3,1}&=e_2e_1^2 - 2m_{2,2} - 5m_{2,1,1} - 12m_{1,1,1,1}, \\ m_{2,2}&=e_2^2 - 2m_{2,1,1} - 6m_{1,1,1,1}, \\ m_{2,1,1}&=e_3e_1 - 4m_{1,1,1,1},\\ m_{1,1,1,1}&=e_4. \end{align} $$ Así, nuestra ecuación se convierte, tras algunos cálculos más, en $$ (\alpha+\beta+\gamma) (\alpha+\beta+\delta) (\alpha+\gamma+\delta) (\beta+\gamma+\delta)= e_2e_1^2 - e_3e_1 + e_4 = qp^2 - (pq)p + 1=1, $$ donde sus ecuaciones $p=e_1$ , $q=e_2$ , $pq=e_3$ y $1=e_4$ fueron sustituidos.

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Esto es, por supuesto, relativamente laborioso, pero tiene la ventaja de ser un método que funciona para polinomios simétricos arbitrarios de $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ .

Los coeficientes para la expresión de productos de polinomios simétricos elementales en términos de mínimos vienen dados por pequeños problemas de recuento combinatorio: el número de matrices con entradas $0$ o $1$ con sumas de columnas dadas por los índices $i$ de los factores $e_i$ y las sumas de las filas dadas por los índices del $m_\lambda$ . Por ejemplo, el coeficiente $5$ de $m_{2,1,1}$ en $e_2e_1^2$ es igual al número de tales matrices con sumas de filas y columnas dadas ambas por la secuencia $2,1,1$ .