Pruébalo: $A,B\in\mathscr P(\Bbb R)\setminus\emptyset ,a \lt b\ \forall a \in A,\forall b \in B\implies \sup A \lt \inf B$

Question

Esta es una pregunta verdadera o falsa que necesito probar. He deducido que si $a \leq u$ ser $ u = \sup A $ y $ v \leq b $ ser $v = \inf B $ así que $ a \leq u \leq v \leq b$ . Pero no sé si es la demostración correcta o necesita más explicación.

Answer 1

A=[0,1) y B=[1,2]. Ahora puedes deducir. @Anurag lo ha resuelto.

Answer 2

Pero no sé si es la demostración correcta o necesita más explicación.

Necesita un poco más de explicación.

Por cada $a \in A$ entonces $a < b\in B$ para todos $b$ por lo que cada $a$ es el límite inferior de $B$ y $a \le \inf B \le b$ para todos $a\in A, b\in B$ .

Y por cada $b \in B$ entonces $b > a\in A$ para todos $b$ por lo que cada $b$ es un límite superior de $A$ y $a \le \sup A \le b$ para todos $a\in A, b\in B$ .

Así que tenemos las tres posibilidades siguientes:

1. $a\le \inf B < \sup A \le b$ para todos $a\in A; b\in B$ .
2. $a \le \sup A = \inf B \le b$ para todos $a\in A; b\in B$
3. $a \le \sup A < \inf B\le b$ para todos $a \in A; b\in B$ .

1 es imposible. $\inf B< \sup A$ así que $\inf B$ puede sea un límite superior de $A$ así que $a\le \inf B$ para todos $B$ no es posible. Asimismo, $\inf B < \sup A$ así que $\sup A$ no puede ser un límite inferior de $B$ así que $\sup A \le b$ para todos $b\in B$ no es posible.

3 es ciertamente posible. Podríamos tener $A= \{1\}$ y $B = \{2\}$ y $a \le \sup A = 1 < 2= \inf B = b$ para todos $a\in A, b\in B$ .

Pero, ¿es posible o imposible la 2)?

Bueno, si $u= \inf B= \sup A$ . Podemos demostrar que $u$ no puede estar en ambos $A$ y $B$ ya que entonces tienes $b=u \in B$ y $a=u \in A$ mais $u=a \not < b=u$ . Pero no hay razón para que $\inf B$ debe estar en $B$ o que $\sup A$ debe estar en $A$ .

Si podemos pensar en un conjunto superior acotado que puede contener o no su $\sup$ por ejemplo $A= (m,n)$ donde $\sup A = n\not \in A$ . Y un conjunto acotado por debajo de donde podría no contener su $\inf$ por ejemplo $B = (j,k)$ donde $\inf B=j\not \in B$ . Pero tienen el $\sup$ de uno sea el $\inf$ del otro, por ejemplo $A = (m,n)$ y $B=(j,k)$ y $n=j$ eso estaría bien.

Ejemplo: Si $m < n < k$ y $A= (m,n)$ y $B=(n,k)$ entonces para todos $a\in A; b\in B$ tenemos $m < a < n < b < k$ y que $\sup A = \inf B = n$ .

Así que la declaración $\sup A < \inf B$ no es cierto.

La afirmación verdadera es $\sup A \le \sup B$ . La desigualdad no es estricta.

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Y un problema interesante podría ser si $A$ y $B$ finito entonces $\sup A < \inf B$ . O si $A$ y $B$ están ambos cerrados, entonces $\sup A < \inf B$ .