Orden de precisión de la división de operadores

Question

Consideremos el problema de valor inicial: $$\frac{\partial\phi}{\partial t}+A(\phi)=0 \qquad in \quad (0,T),$$ $$\phi(0)=\phi_0$$ Donde $A$ es un operador lineal (suficientemente suave) de un espacio de Hilbert a sí mismo. Supongamos que $A$ tiene la descomposición: $$A=A_1+A_2$$ Entonces la solución del PIV puede ser aproximada en el tiempo por la solución del siguiente esquema . Sea $\Delta t>0$ sea un paso de discretización temporal tal que $t_n =n\Delta t$ y que $\phi^n$ sea una aproximación de $\phi(t_n)$ entonces para $n \geq 0$ calculamos $\phi^{n+1}$ resolviendo para $i=1,2$ $$\frac{\partial\phi}{\partial t}+A_i(\phi)=0 \qquad in \quad (t_n,t_{n+1}),$$ $$\phi(t_n)= \phi^{n+(i-1) / 2}$$ $$\phi(t_{n+1})= \phi^{n+i / 2}$$

¿Cómo podemos demostrar que este método es preciso en primer orden? $||\phi(t_n) - \phi^n|| =O(\Delta t)$

Answer 1

La solución exacta satisface $\phi(t^{n+1}) = e^{\Delta t\, (A_2 + A_1)} \phi(t^{n})$ en un paso completo. Supongamos que cada subpaso del presente esquema de división (cf. el método de pasos fraccionados sur este artículo o Godunov dividido ) se resuelve exactamente. Así, obtenemos en el primer subpaso ( $i=1$ ) $$ \phi^{n+1/2} = e^{\Delta t\, A_1} \phi^n\, , $$ mientras que en el segundo subpaso ( $i=2$ ), obtenemos $$ \phi^{n+1} = e^{\Delta t\, A_2} \phi^{n+1/2} = e^{\Delta t\, A_2} e^{\Delta t\, A_1} \phi^n\, . $$ Por definición de la matriz exponencial, $$ e^{\Delta t\, (A_2 + A_1)} = I + \Delta t\, (A_2 + A_1) + \frac{{\Delta t}^2}{2} ({A_2}^2 + A_2A_1 + A_1A_2 + {A_1}^2) + \dots $$ y $$ e^{\Delta t\, A_2} e^{\Delta t\, A_1} = I + \Delta t\, (A_2 + A_1) + \frac{{\Delta t}^2}{2} ({A_2}^2 + 2A_2A_1 + {A_1}^2) + \dots $$ Por lo tanto, el error de truncamiento local (LTE) inducido por la división es $O({\Delta t}^2)$ : $$ \phi^{n+1} - \phi(t^{n+1}) = \frac{{\Delta t}^2}{2}(A_2A_1 - A_1A_2)\phi^n + O({\Delta t}^3) \, . $$ Finalmente, el error de truncamiento global es $O(\Delta t)$ .

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Nótese que este esquema de división es exacto si $A_2$ y $A_1$ de viaje.