Una relación de conmutación

Question

Espero que lo siguiente no sea trivial,

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ s.t. $[H,G]\leq Z(G)$ entonces podemos decir que $H$ ¿es normal?

Creo que no podemos, pero no he podido encontrar un contraejemplo. Cualquier ejemplo contrario es bienvenido.

Answer 1

No $H$ no tiene por qué ser normal. Toma $G=D_4=\langle a,b : a^4=1=b^2, ab=ba^{-1} \rangle$ . Poner $H=\{1,b\}$ . Entonces $[H,G]=Z(G)=G'=\{1,a^2\}$ . Pero $H$ no es normal.