Si tenemos para una secuencia de variables idénticamente independientes con $\limsup \{|X_n|>n\}$ ocurre casi con toda seguridad. ¿Podemos concluir que $\limsup \{n^{-1}|\sum X_j|>1\}$ ¿pasa a.s.? Uno de los problemas en los que estaba trabajando parece necesitar esto para concluir, pero no veo por qué esto es cierto. ¿Alguna ayuda?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael
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Sí, es cierto. Aquí hay una prueba de una generalización:
Reclamación:
Supongamos que $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ son independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.) y existe un $\alpha>0$ tal que $$ P[\{|X_n|> \alpha n\} \quad i.o.] = 1$$ donde "i.o." significa "infinitamente a menudo". Entonces, para cualquier $\beta>0$ que tenemos: $$P[\{|X_n|>\beta n\} \quad i.o.]=1 \quad (Eq. *)$$ y $$P\left[\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right|>\beta \right\} \quad i.o.\right] = 1 \quad (Eq. **)$$
Hecho 1:
Dejemos que $Y$ sea una variable aleatoria no negativa. Fijar $\theta>0$ . Entonces $E[Y]=\infty$ si y sólo si $$ \sum_{n=1}^{\infty}P[Y>\theta n] = \infty$$
Prueba: Esto se puede demostrar mediante $E[Y]=\int_0^{\infty} P[Y>t]dt$ y limitando la integral por una suma.
Prueba de reclamación:
Supongamos que $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ son i.i.d. y hay un $\alpha>0$ que satisface $P[\{|X_n|> \alpha n\} \quad i.o.]=1$ . Por Borel-Cantelli sabemos $$ \sum_{n=1}^{\infty} P[|X_n|> \alpha n] = \infty$$ ya que si la suma fuera finita, $\{|X_n|> \alpha n\}$ sólo ocurriría con una frecuencia finita (con probabilidad 1). Dado que $\{X_n\}$ son i.i.d. sabemos $P[|X_n|> \alpha n]=P[|X_1|> \alpha n]$ y así $$ \sum_{n=1}^{\infty} P[|X_1|> \alpha n] = \infty$$ Del hecho 1 se deduce que $E[|X_1|]=\infty$ y así para cualquier $\theta>0$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} P[|X_1|>\theta n] = \infty$$ y así $$ \sum_{n=1}^{\infty} P[|X_n|>\theta n] = \infty$$ Desde $\{X_n\}$ son mutuamente independientes, por Borel-Cantelli esto implica $$ P[\{|X_n|>\theta n\} \quad i.o.] = 1 \quad (Eq. ***)$$ Esto demuestra (Ec. *).
Ahora arreglar $\beta>0$ . Definir $L_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ . Tenemos por la ley de Kolmogorov 0-1 que $$ P[\{|L_n|>\beta \} \quad i.o.] \in \{0,1\}$$ Si la probabilidad es 1, entonces hemos terminado. Ahora supongamos que la probabilidad es cero (llegamos a una contradicción). Entonces $|L_n|\leq \beta$ para todos los índices excepto los finitos $n$ (con prob 1). Pero si definimos $\theta = 3\beta$ y utilizar la (Ec. ***), sabemos que $\{|X_n|>3\beta n\}$ ocurre con una frecuencia infinita (con probabilidad 1). Así, con probabilidad 1, los eventos $\{|X_{n+1}|>3\beta (n+1) \}\cap\{|L_n|\leq \beta \}$ ocurren con una frecuencia infinita. Cada vez que este evento ocurre debe ser que $|L_{n+1}|>\beta$ porque: $$ |L_{n+1}| = \left|\frac{nL_n}{n+1} + \frac{X_n}{n+1}\right| \geq \frac{|X_n|-|nL_n|}{n+1}> \frac{3\beta n - \beta n}{n+1} \geq \beta $$ Así, $$P[|L_{n+1}|> \beta \quad i.o. ] = 1$$ lo que contradice nuestra suposición de que la probabilidad es 0. Esto demuestra (Ec. **). $\Box$
