Cada día, al abrir la tienda, hay un $\text{Exp}(\frac{1}{10})$ tiempo de espera aleatorio, en minutos, antes de que llegue el primer cliente.

Question

Tienes una heladería. Todos los días, al abrir la tienda, hay un $\text{Exp}(\frac{1}{10})$ tiempo de espera aleatorio, en minutos, antes de que llegue el primer cliente.

1. Cuando el tiempo de espera del primer cliente supera los 20 minutos, es un mal día. Calcula la probabilidad de que tengas entre 50 y 60 días malos en un año (365 días).
2. Cuando el tiempo de espera del primer cliente es inferior a 3 segundos (es decir, 0,05 minutos), es un gran día. Aproxima la probabilidad de que tengas exactamente 3 días grandes en un año (365 días).

Mi intento

1. La probabilidad de esperar más de 20 minutos es $$\mathbb{P}(X\geq20)=\int^\infty_{20}0.1e^{-0.1x}dx=[e^{-0.1x}]^\infty_{20}=e^{-2}\approx0.135$$ Entonces, como $np(1-p)=365(0.135)(1-0.135)=42.7>10$ Podemos utilizar la distribución normal para calcular la probabilidad. La expectativa para una distribución exponencial es $\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{1/10}=10$ . Así, $$\mathbb{P}(50\leq x\leq60)=\mathbb{P}(a\leq\frac{x-\mathbb{E}[x]}{\sqrt{\text{Var}(x)}}\leq b)$$ $$=\mathbb{P}(\frac{50-10}{\sqrt{\text{Var}(x)}}\leq\frac{x-\mathbb{E}[X]}{\sqrt{\text{Var}(x)}}\leq\frac{60-10}{\sqrt{\text{Var}(x)}})\approx \Phi(\frac{50}{\sqrt{\text{Var}(x)}})-\Phi(\frac{40}{\sqrt{\text{Var}(x)}})$$ La parte con la que estoy teniendo problemas es cómo encontrar la varianza para la distribución exponencial. ¿Pueden darme algunas indicaciones?

Editar Creo que ahora sé cómo encontrar la varianza. Tengo Var[X]=E[ $X^2$ ]-E[X]=200-10=190. Así que $$\Phi(\frac{50}{\sqrt{190}})-\Phi(\frac{40}{\sqrt{190}})\approx0.00176$$

Mi preocupación ahora es que esta probabilidad es demasiado pequeña. No creo que sea razonable. ¿Pueden indicarme dónde me he equivocado? Gracias

2. Para éste, como 3 segundos es tan pequeño, podemos considerar que este evento es raro, por lo que podemos utilizar la aproximación de Poisson. Primero encontramos la probabilidad de gran día $$\mathbb{P}(X\leq0.05)=1-[e^{-0.1}x]^\infty_{0.05}\approx0.00498$$ Sabemos que la expectativa es igual al parámetro, $\lambda$ de la distribución de Poisson. Entonces podemos encontrar utilizar la fórmula $$e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$$

¿Es este el enfoque correcto?

Answer 1

La primera es errónea.

Después de calcular $P(X>20)=e^{-2}$ su distribución anual es una binomial $Y\sim B(365;e^{-2})$ con la media $\mu=365\cdot e^{-2}$ y la varianza $\sigma^2=365\cdot e^{-2}\cdot(1-e^{-2})$

Sí, se puede aproximar como una gaussiana pero la fórmula correcta es

$$P(50\leq Y\leq 60)=\Phi\left(\frac{60.5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{49.5-\mu}{\sigma}\right)=\Phi(1.699)-\Phi(0.016)\approx 0.449$$

El segundo se puede calcular exactamente con la binomial

$$P(Y=3)=\binom{365}{3}\left[1-e^{-1/200}\right]^3\cdot\left[e^{-1/200}\right]^{362}\approx 0.1632$$

Si quieres aproximar este resultado con el poisson puedes hacerlo. Observa que la probabilidad de tener un gran día es $e^{-1/200}$ lo que significa que espera tener

$$365\times e^{-1/200}\approx 1.82$$

grandes días al año.

Por lo tanto, la probabilidad de tener exactamente 3 días grandes en un año es

$$P(Y=3)=\frac{e^{-1.82}\cdot 1.82^3}{3!}\approx 0.1628$$

que está muy cerca del resultado exacto obtenido con la binomial

Answer 2

Una vez que sabes que la probabilidad de tener un mal día es $e^{-2} \approx 0.135335$ entonces el resto de la pregunta ya no es sobre una distribución exponencial, sino sobre una distribución binomial (y su aproximación por una distribución normal). En particular, el número aleatorio $X$ de días malos en un año es una distribución binomial con $n = 365$ y $p = e^{-2}$ Suponiendo que la probabilidad de que un día determinado sea malo es independiente del resultado de cualquier otro día, y que la probabilidad de un día malo es la misma para cualquier día del año.

Como tal, queremos que la probabilidad $$\Pr[50 \le X \le 60] = \sum_{x=50}^{60} \binom{365}{x} (e^{-2})^x (1 - e^{-2})^{365 - x}. \tag{1}$$ Pero esto es difícil de calcular sin un ordenador. Así que utilizamos la aproximación normal a la binomial, ajustando una distribución normal cuya media $\mu$ es igual a la media binomial $np$ y cuya varianza $\sigma^2$ es igual a la varianza binomial $np(1-p)$ . Así, dejamos que $$Y \sim \operatorname{Normal}(\mu = 49.3974, \sigma^2 = 42.7122).$$ Entonces la probabilidad deseada es aproximadamente $$\Pr[50 \le Y \le 60] \approx \Pr\left[ \frac{50 - 49.3974}{\sqrt{42.7122}} \le \frac{Y - \mu}{\sigma} \le \frac{60 - 49.3974}{\sqrt{42.7122}}\right] = \Pr[0.0922081 \le Z \le 1.62232] \approx 0.947633 - 0.536734 = 0.410899.$$

Sin embargo, la probabilidad exacta, utilizando la ecuación $(1)$ arriba, es $0.43861306037477480884\ldots$ . ¿A qué se debe esta discrepancia? La razón es que necesitamos utilizar corrección de continuidad en la aproximación normal, para dar cuenta de la mitad de la masa de probabilidad que nos falta. La aproximación corregida es:

$$\Pr[50 \le X \le 60] \approx \Pr[49.5 \le Y \le 60.5] \approx \Pr[0.0157023 \le Z \le 1.69883] \approx 0.44906,$$ que tiene aproximadamente la mitad de error que la aproximación no corregida.

Para la segunda parte de la pregunta, se aplica el mismo tipo de cálculo, excepto que ahora la probabilidad binomial exacta es manejable porque el número de días buenos es exactamente $3$ . La probabilidad de un buen día es $$\Pr[T \le 0.05] = 1 - e^{-(0.1)(0.05)} \approx 0.00498752,$$ por lo que $$\Pr[X = 3] = \binom{365}{3} (0.00498752)^3 (1 - 0.00498752)^{365-3} \approx 0.163204.$$ También se puede utilizar una aproximación de Poisson, ya que el evento es razonablemente raro. En este caso, el parámetro de la tasa es $\lambda = np = 365(0.00498752) \approx 1.82045$ que representa el número medio de días buenos que podemos esperar en un año. A continuación, $$\Pr[X = 3] \approx e^{-\lambda} \frac{\lambda^3}{3!} \approx 0.162844.$$ Creo que es preferible el cálculo exacto, e igualmente accesible para una calculadora de mano.