La existencia de un límite finito implica una secuencia acotada

Question

Consideremos una secuencia de números reales $\{a_n\}_n$ . He leído en varias fuentes que

(*) Si $\exists$ $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$ con $-\infty<L<\infty$ entonces $\{a_n\}_n$ está acotado, es decir $\exists$ $0<M<\infty$ s.t. $|a_n|\leq M$ $\forall n$

¿No es la afirmación correcta

(**) Si $\exists$ $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$ con $-\infty<L<\infty$ entonces $\{a_n\}_n$ está acotado por encima y/o por debajo ?

?

¿Por qué?

¿Son válidas conclusiones similares para una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ con $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L$ y $-\infty<L<\infty$ ?

Answer 1

La primera es la correcta. Por definición, $(a_n)_n$ converge a $L\in\mathbb{R}$ significa $$ \forall \varepsilon > 0 \exists N_\varepsilon \geq 0 \text{ s.t. } \forall n \geq N, \ \lvert a_n - L \rvert \leq \varepsilon. $$

Tome $\varepsilon = 1$ por ejemplo: $$ \exists N_1 \geq 0 \text{ s.t. } \forall n \geq N_1, \ \lvert a_n - L \rvert \leq 1. $$

Ahora, por definición de los valores de absolución, esto significa que para todos los $n \geq N_1$ $$ L-1 \leq a_n \leq L+1. $$ Esto implica que $(a_n)_n$ está limitada por $\ell=\max(\lvert L-1\rvert,\lvert L+1\rvert) $ , salvo quizá los primeros (como mucho $N_1-1$ ). Pero hay un número finito de ellos, así que ya está hecho: dejar $M=\max(\ell, \lvert a_1\rvert,\dots, \lvert a_{N_1-1}\rvert)$ , entonces se obtiene que $\lvert a_n\rvert \leq M$ para todo $n\geq 1$ .

Editar: puedes imitar esta prueba para continuo funciones $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con límites finitos en $\pm\infty$ . (la clave es que en algún momento, tendrá que considerar $\sup_{[-A,A]} \lvert f\rvert$ para concluir, y la continuidad asegura que ésta es finita).

Answer 2

Si $\{a_n\}_n\subset \Bbb R$ y $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\in \Bbb R=(-\infty,\infty)$ entonces $$\exists N>0 \qquad\text{such that}\qquad |a_n-L|<1 \quad \forall n\geq N$$ esto implica que $$ -1<a_n-L<1 \implies |a_n|<\max\{|L+1|,|L-1|\} \qquad \forall n\geq N$$ Así que puedes elegir $$M= \max\{|a_0|,\ldots,|a_N|,|L-1|,|L+1|\}$$