Eigenfunctions de la ecuación de Helmholtz en geometría Toroidal

Question

la ecuación de Helmholtz $$\Delta \psi + k^2 \psi = 0$$ tiene un montón de aplicaciones fundamentales en la física, ya que es una forma de la ecuación de onda $\Delta\phi - c^{-2}\partial_{tt}\phi = 0$ con un supuesto armónica de la dependencia del tiempo $e^{\pm\mathrm{i}\omega t}$.

$k$ puede ser visto como una especie de potencial, la ecuación es análoga a la estacionaria de la ecuación de Schrödinger.

La existencia de soluciones es de mi conocimiento vinculado a la divisibilidad de la Laplaciano $\Delta$ en algunos sistemas de coordenadas. Ejemplos son cartesiano, elíptica y cilíndrico.

Por ahora estoy interesado en una geometría toroidal, $$k(\mathbf{r}) = \begin{cases} k_{to} & \mathbf{r}\in T^2 \\ k_{out} & \text{else}\end{cases}$$

donde $T^2 = \left\{ (x,y,z):\, r^2 \geq \left( \sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2 + z^2 \right\}$

De ahí la pregunta:

Hay soluciones conocidas (en términos de funciones propias) de la ecuación de Helmholtz para la geometría?

Gracias de antemano
Sinceramente

Robert

Edit: Como Hans señalado, no puede ser cualquier solución de acuerdo con el correspondiente artículo de la Wikipedia. Desafortunadamente, no hay ninguna referencia dado - ¿alguien sabe dónde podría encontrar a la prueba?

Answer 1

• Normalmente, $T^2$ significa que el Toro, que es una 2-variedad: $T^2 \cong [0,2\pi r]\times[0,2\pi R]$, la solución a $$ \Delta \psi + k^2\psi = 0\etiqueta{1} $$ lleva el formulario: para $m\in \mathbb{Z}^2$, $\psi_k = e^{ i m\cdot x}$, con $|m| = \sqrt{m_1^2 +m_2^2} = k. $ La razón detrás de esto es que el $\mathbb{T}^2 \cong \mathbb{S}^1(r)\times \mathbb{S}^1(R) $, y para el (1) en $\mathbb{S}^1$ tiene vectores propios $e^{imx}$ donde $|m| = k$, entonces la transformada de Fourier de expansión en el producto en espacios de uso base $\prod e^{i m_i x_i}$.

• En su caso es en realidad un Toroide, de acuerdo a la Teoría de Campo Manual el capítulo sobre el sistema de rotación, la ecuación de Helmholtz no es separable de la geometría toroidal. Sólo la ecuación de Laplace es separable, por favor consulte la sección 6 en aquí.

• Por que el artículo de wikipedia sobre Toroidal coordenadas: hacemos la sustitución de (1) así: $$\psi=u\sqrt{\cosh\tau-\cos\sigma},$$ a continuación, por el Laplaciano en la geometría toroidal en el que la entrada de la wiki: \begin{align} \Delta \psi =& \frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau} \left[ \sinh \tau \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) \right. \\[8pt] & {} + \left. \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right) + \frac{1}{\sinh \tau \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} \right]. \end{align} (una cosa a mencionar, la entrada de la wiki no se menciona que $a^2 = R^2-r^2$) en la Ecuación (1) se puede reducir de la siguiente manera: $$ \frac{\partial^2 u }{\partial \tau^2} + \frac{\cosh \tau}{\sinh\tau}\frac{\partial u }{\partial \tau} + \frac{1}{\sinh^2 \tau} \frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \sigma^2} + \left(\frac{ (R^2-r^2)k^2}{(\cosh\tau\cos \sigma)^2} +\frac14\right)u= 0. $$ Para la ecuación anterior, a pesar de que nos separan en tres variables en coordenadas toroidales, podemos separar las $\phi$ variable: $$ u = K(\tau,\sigma)\Phi(\phi). $$ La ecuación se convierte en: $$ \Delta_{\tau,\sigma} K + \frac{\cosh \tau}{\sinh\tau}\frac{\partial K }{\parcial \tau} + \left(\frac{ (R^2-r^2)k^2}{(\cosh\tau\cos \sigma)^2} +\frac14 -\frac{m^2}{\sinh^2 \tau}\right) K = 0,\etiqueta{2} $$ y $$ \Phi" + m^2 \Phi = 0. $$ Por lo tanto $u_m = K(\tau,\sigma)e^{im\theta}$, e $K$ satisface (2). Si alguien sabe cómo proceder utilizando un método analítico para (2), estoy interesado en ella.