Prueba elemental de que $|x|^p$ es convexo.

Question

Estoy escribiendo algunas notas sobre el análisis y quiero usar el hecho de que $|x|^p$ es convexo para cada $p>1$ para probar la desigualdad de Minkowski. Sin embargo, todavía no he escrito nada sobre derivados ni límites. ¿Hay una forma sencilla de probar esto?

EDITAR: Las únicas desigualdades no triviales probadas hasta ahora son la desigualdad triangular y la desigualdad Cauchy-Schwarz.

Answer 1

Creo que sí. La composición de una función convexa con una convexa creciente sigue siendo convexa. Más precisamente, si $f$ es convexo y $g$ es convexo y aumenta, entonces $(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)$ es convexo. Ahora $f(x)=|x|$ es convexo por una desigualdad de triángulo y $g(x)=x^p$ está aumentando y convexo. Aquí podríamos usar derivados.