Hallar la pendiente de la tangente de una curva que pasa por un punto fijo

Question

Necesito encontrar la pendiente de la tangente de $f(x)=\sqrt{2x-10}$ que pasan por el punto $(0,0)$ .

La derivada de $f(x)$ es $1/(\sqrt{2x-10})$ .

Answer 1

Observa que la curva dada es una rama de una parábola. Como la recta tangente pasa por $(0,0)$ . Por lo tanto, es de la forma $y=mx$ . Ahora encuentra la intersección de ésta con la curva dada resolviendo \begin{align*} mx & = \sqrt{2x-10}\\ m^2x^2 & = 2x-10\\ m^2x^2-2x+10 & = 0. \end{align*} Para que sea una tangente la recta debe intersecar la curva en puntos coincidentes, lo que significa que las raíces de la cuadrática anterior deben ser iguales. Así, $$4-40m^2 =0 \implies m=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}.$$ Teniendo en cuenta que se trata de la rama superior de la parábola. $m=\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Answer 2

Puede elegir un punto $P(x_P,y_P)$ donde la línea $y-y_0=m(x-x_0)$ será tangente a $f(x)=\sqrt{2x-10}$ Así que si $(x_0,y_0)\equiv O$ tenemos:

$$y=mx$$ $$m_P={1\over\sqrt{2x_P-10}}$$

así $y={1\over\sqrt{2x_P-10}}x$ es una línea que pasa por el origen tangente a $f(x)$ en $P$ . Ahora sabemos que esta línea debe ser tangente a $f(x)$ en $P$ por lo que debe pasar por este punto, por lo tanto:

$$y_P={1\over\sqrt{2x_P-10}}x_P$$

pero $y_P=\sqrt{2x_P-10}$ Así que..: $$\sqrt{2x_P-10}={1\over\sqrt{2x_P-10}}x_P\longrightarrow 2x_P-10=x_P\Longrightarrow x_P=10$$

Así que obtenemos $P(10,\sqrt{10})$ y $m_P={1\over\sqrt{2x_P-10}}={1\over\sqrt{10}}$ .

Answer 3

$$ y = f(x) \tag1$$ $$ y^2 = 2x -10 \tag2$$ Diferenciar

$$ y y^{\prime} = 1 \tag3$$

Tomar la forma estándar con desplazamiento de 5 a lo largo de $x$ dirección.

$$ x= ft^2 + 5 ;\, y = 2 ft \tag4$$

$ y^{\prime}$ = pendiente

$$ =\frac {dy}{dx} = \frac {dy/dt}{dx/dt} =\frac {2f}{2ft} = \frac1t \tag5 $$

Ecuación de la tangente

$$ \frac {y-2ft}{ft^2 + 5 } = \frac1t \tag6 $$

Como pasa por el origen, el término constante debería desaparecer. Multiplicación cruzada para los términos constantes,

$$ -2 ft^2 = -(5 + ft^2)\rightarrow t = \pm \sqrt 10 \tag7 $$

$$ Slope =1/t = \pm \frac{1}{ \sqrt 10} \tag8$$

Signo positivo para la tangente en el primer cuadrante, negativo en el cuarto.

Answer 4

La tangente viene dada por $$mx+ b,$$ con $m$ siendo la derivada de $f$ sur $x=a$ ( $x$ -valor a evaluar).