$a$ , $b$ son números naturales tales que ambos $~\dfrac{a^{2}+b}{b^{2}-a}$ , $~\dfrac{b^{2}+a}{a^{2}-b}$ son números naturales.
Encontrar todos los pares $(a,b)$ .
Respuesta
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Como las fracciones son números naturales (positivos), debemos tener \begin{align*} b^2 - a &\le a^2 + b \\ a^2 - b &\le b^2 + a \end{align*} Reacomodando, \begin{align*} (b - a)(a + b) &\le a + b \\ (a - b)(a + b) &\le a + b \end{align*} Así que $$ \left| (a - b)(a + b) \right| \le \left| a + b \right| $$ Desde $a, b > 0$ , $|a + b| > 0$ Así que $$ \left| a - b \right| \le 1 $$
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Si $a - b = 0$ entonces $a^2 - a \mid a^2 + a$ Así que $a - 1 \mid a + 1$ Así que $a = 2$ o $a = 3$ .
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Si $|a - b| = 1$ entonces WLOG $b = a + 1$ . \begin{align*} \frac{a^2+b}{b^2-a} &= \frac{a^2 + a + 1}{a^2 + a + 1} = 1 \\ \frac{b^2+a}{a^2-b} &= \frac{a^2 + 3a + 1}{a^2 - a - 1} = 1 + \frac{4a + 2}{a^2 - a - 1} \end{align*}
Ahora, $a^2 - a - 1 \le 4a + 2 \implies a^2 - 5a - 3 \le 0 \implies a \le 5$ . De ellos, compruebe que sólo $a = 2$ hace que la fracción sea un número natural.
Las soluciones son $$ (2,2), (3,3), (2,3), (3,2). $$
