La preimagen de un punto bajo $f$ no está conectado en general. Por ejemplo, dejemos que $n=2$ y que $(\alpha_1,\alpha_0)$ sea tal que $p(t)=t^2+\alpha_1 t+\alpha_0$ no tiene ninguna raíz real. Entonces cualquier matriz $A$ tal que $p_A(t)=p(t)$ no tiene valores propios reales. En particular, si $\{e_1,e_2\}$ es la base estándar, entonces $Ae_1=ae_1+be_2$ para algunos $a$ y algunos $b\neq 0$ . Esto da dos subconjuntos no triviales de $f^{-1}(\{(\alpha_1,\alpha_0)\})$ La que $b>0$ y una en la que $b<0$ . (Ambos subconjuntos no son vacíos porque si se toma $A$ en un subconjunto y conjugarlo por la matriz $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ se obtiene un elemento del otro subconjunto).
En general, si $\beta\in\mathbb{R}^n$ corresponde a un polinomio libre de cuadrados, entonces dos matrices cualesquiera en $f^{-1}(\beta)$ son diagonalizables sobre $\mathbb{C}$ con los mismos valores propios y por tanto conjugados por una matriz invertible. Así, $f^{-1}(\beta)$ es una imagen continua de $GL_n(\mathbb{R})$ y por lo tanto tiene a lo sumo dos componentes conectados. Si el polinomio correspondiente a $\beta$ tiene una raíz real, entonces cualquier elemento $A$ de $f^{-1}(\beta)$ tiene un vector propio real. Dejando que $B$ sea el mapa que niega este vector propio real pero que es la identidad en los otros espacios propios de $A$ tenemos $\det B=-1$ y $BAB^{-1}=A$ . Esto significa que los dos componentes de $GL_n(\mathbb{R})$ actuando por conjugación en $A$ en realidad tienen la misma imagen, y así $f^{-1}(\beta)$ está conectado. Sin embargo, en general, como muestra el ejemplo anterior, $f^{-1}(\beta)$ puede tener dos componentes.
De manera más general, hay una sección $g:\mathbb{R}^n\to M_n(\mathbb{R})$ de $f$ tomando un polinomio a su matriz compañera. Si $E$ consiste en polinomios libres de cuadrados, entonces cada matriz en $f^{-1}(E)$ es conjugada a una matriz en $g(E)$ y así $f^{-1}(E)$ es la imagen de $g(E)$ bajo la acción de conjugación de $GL_n(\mathbb{R})$ . Si $E$ está conectado, esto significa que $f^{-1}(E)$ tiene como máximo dos componentes conectados, uno por cada componente de $GL_n(\mathbb{R})$ . Es decir, un componente es el conjunto de matrices conjugadas a un elemento de $g(E)$ por una matriz de determinante positivo y un componente es aquellos conjugados a un elemento de $g(E)$ por una matriz de determinante negativo, a menos que estos dos conjuntos formen en realidad un único conjunto conexo. Si cualquier elemento $\beta\in E$ tiene una raíz real, entonces los dos conjuntos se solaparán en $f^{-1}(\beta)$ como en el caso anterior, y así $f^{-1}(E)$ tendrá un solo componente.
(Para los polinomios que no son libres de cuadrados, hay múltiples clases de conjugación diferentes de matrices en $f^{-1}(\beta)$ ya que se pueden tener matrices no diagonalizables. Creo que las matrices no diagonalizables deben acumularse siempre en las matrices diagonalizables por lo que $f^{-1}(\beta)$ sigue teniendo como máximo dos componentes, pero no he comprobado los detalles. Tampoco he comprobado si los dos componentes de $f^{-1}(\beta)$ siempre son distintos si el polinomio no tiene raíces reales, pero sospecho que sí).
