Bases de las formas modulares sobre el subgrupo de congruencia

Question

Soy consciente de que una base de las formas modulares de peso $k$ en $SL_2(\mathbb{Z})$ es $\{E_{4}^iE_{6}^j: 4i + 6j = k\}$ donde $E_4$ y $E_6$ son la 4ª y 6ª serie Eisenstein respectivamente. Me pregunto si existe una base similar para los subgrupos de congruencia principales. En particular, ¿existe una base similar para el conjunto de formas modulares de peso k sobre $\Gamma(2)$ ?

Answer 1

El grupo $\Gamma(2)$ es conjugado con $\Gamma_0(4)$ ; si $f(\tau)$ es una forma modular para $\Gamma(2)$ entonces $f(2\tau)$ es modular de nivel $\Gamma_0(4)$ y viceversa. Por tanto, basta con calcular el anillo de formas modulares de nivel $\Gamma_0(4)$ . Sage dispone de una funcionalidad para hacer esto en un solo paso:

sage: ModularFormsRing(Gamma0(4)).generators()

[(2, 1 + 24*q^2 + 24*q^4 + 96*q^6 + 24*q^8 + O(q^10)),
(2, q + 4*q^3 + 6*q^5 + 8*q^7 + 13*q^9 + O(q^10))]

Esto significa que el anillo de formas modulares para $\Gamma_0(4)$ es generado por las dos formas $F, G$ con el $q$ -que viven en peso 2. (De hecho, ambas son series de Eisenstein: son combinaciones lineales de $H(\tau)$ y $H(2\tau)$ , donde $H$ es la única serie de Eisenstein de peso 2 y nivel 2). Así que el espacio de las formas de peso $2k$ es abarcada por las sumas $\{F^a G^b : a+b=k\}$ que son linealmente independientes.

Lo que hace que esto funcione es que la curva modular $X(2) \cong X_0(4)$ tiene género 0; siempre que se tenga una curva modular de género 0, se obtendrá un isomorfismo similar del anillo de formas modulares sobre un anillo polinómico en dos generadores. (Edición: Lo siento, esa parte estaba mal; falla por $\Gamma(5)$ aunque $\Gamma(5)$ tiene género 0).