Teorema de Arnold sobre los ángulos de acción.

Question

He cambiado ligeramente la forma de la pregunta para hacerla más legible.

Tengo una pregunta sobre el teorema del ángulo de acción de la página 283 del libro de texto de Arnold sobre mecánica clásica. (He añadido el enlace a este libro en la última parte de esta pregunta)

Si no tienes el libro o necesitas información, consulta el enlace al libro más abajo o deja un comentario e intentaré hacerlo lo mejor posible.

$\textbf{Theorem:}$ El teorema dice que la transformación $(p,q) \mapsto (I,\phi)$ es simpléctica, donde $I$ son las variables de acción y $\phi$ los ángulos de acción.

Dice que sólo esbozará la prueba que podría ser fuente de confusión.

Expondré la prueba hasta el punto que causa los problemas y explicaré qué es exactamente lo que causa los problemas.

$\textbf{Proof: }$ Así que primero consideramos el $1$ -forma $pdq$ en el colector $M_f:=\{(p_1,..,p_n,q_1,..,q_n)=:(p,q) \in M; F_1(p,q)=f_1,...,F_n(p,q)=f_n\}$ donde $F_1,..,F_n$ tienen derivadas linealmente independientes y $M$ es una variedad simpléctica de dimensión $2n$ .

adición: Se puede demostrar que $\omega|_{M_f} = 0$ y también asumió que $\frac{\partial I}{\partial f}|_{M_f}$ es invertible en una prueba anterior.

Por lo tanto, $S(x)= \int_{x_0}^{x} pdq|_{M_f}$ es invariante bajo deformaciones de las trayectorias $(x_0 \rightarrow x)$ (por el teorema de Stokes).

adición: Se puede demostrar que si $M_f$ es conectado y compacto es difeomorfo a un toroide.

Todavía, $S$ es de valores múltiples ya que cuando integramos alrededor de un círculo $\gamma_i$ de este toro, obtenemos un periodo $\Delta_i (S)= \int_{\gamma_i} dS = 2 \pi I_i. $

Ahora continúa diciendo: Que $x_0$ sea un punto en $M_f$ en un barrio del que el $n$ variables $q$ son coordenadas de $M_f$ tal que el submanifold $M_f \subset \mathbb{R}^{2n}$ viene dada por $n$ -Ecuaciones de la forma $p= p(I,q)$ , $q(x_0)=q.$

En una vecindad simplemente conectada del punto $q_0$ se define una función de un solo valor

$S(I,q) = \int_{q}^{q} p(I,q) dq.$

Por último, señala que: No es difícil comprobar que estas fórmulas dan realmente una transformación canónica, no sólo en una vecindad del punto considerado sino también "en lo grande" en una vecindad de $M_f$ .

$\textbf{Question:}$ Ahora mi pregunta es: ¿Por qué es posible tomar $(I,q)$ como coordenadas, es decir, cuál es el argumento que explica por qué las coordenadas $q$ puede tomarse incluso como coordenadas globales (ya que Arnold dice que es fácil concluir que esto también es cierto en el "gran" entorno $M_f$ ) en un nbh de $M_f$ ?

EDIT: Para los que no tengáis el libro, podéis descargar el pdf desde este enlace e ir a la página 300 (según el pdf). haz clic en mí.

Answer 1

Vale, esto lo aprendí del libro de Arnold, pero me costó años entenderlo como lo entiendo ahora, y lo voy a explicar aquí de esta manera. Voy a abordar la pregunta 4 del Porster Original, sobre el argumento global; sin embargo, no voy a abordar las otras preguntas específicas.

El panorama general es el siguiente: El teorema de Liouville es un resultado de linealización simpléctica semilocal para una $\mathbb{R}^n$ -acción en un $2n$ -de una variedad simpléctica. Y para entenderlo ayuda ver el teorema de Picard-Lindelöf sobre la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y el teorema de Frobenius, como linealización suave de los campos vectoriales cerca de los puntos donde no desaparecen (puntos no singulares).

Definición: Un sistema integrable en un $2n$ -de la variedad simpléctica de las dimensiones $(M,\omega)$ es un mapeo $F=(f_1,\dots,f_n):M\to \mathbb{R}^n$ tal que:

• es una inmersión en un subconjunto denso abierto de $M$ ;
• sus componentes Poisson conmutan entre sí, $\{f_j,f_k\}_\omega=0$ ;
• los campos vectoriales hamiltonianos generados por sus componentes son completos (algunos autores no asumen esta condición, pero se cumple en algunos casos, por ejemplo, cuando la variedad simpléctica es compacta).

El teorema clásico de Liouville sobre la integrabilidad de los sistemas hamiltonianos proporciona una forma normal semilocal para el flujo hamiltoniano y una forma simpléctica cerca de un conjunto de nivel regular de sus primeras integrales.

Teorema: Dejemos que $F=(f_1,\dots,f_n):M\to \mathbb{R}^n$ sea un sistema integrable en una variedad simpléctica $(M,\omega)$ .

• Los campos vectoriales hamiltonianos generados por sus componentes definen una distribución integrable (en el sentido de Sussmann) del haz tangente cuyas hojas son genéricamente lagrangianas, con hojas singulares isótropas.
• Las componentes conectadas de la preimagen de los valores regulares (hojas regulares) son homogéneas $\mathbb{R}^n$ espacios; son difeomorfos a $\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{T}^m$ .
• La foliación es una fibración lagrangiana en una vecindad de cada hoja regular; define un haz de fibras con fibras lagrangianas.
• Hay coordenadas en una trivialización local de cada hoja lagrangiana en la que $\omega$ está en forma de Darboux y los flujos inducidos por cada $f_j$ son lineales.

En otras palabras, el teorema de Liouville da una descripción de los sistemas integrables cerca de los puntos regulares del mapeo $F$ .

Una observación es importante aquí: No estoy asumiendo que las primeras integrales sean funcionalmente independientes en todas partes, y por eso necesito invocar el teorema de Sussmann. En aras de la simplicidad, se puede restringir al subconjunto abierto y denso en el que estas funciones son funcionalmente independientes y utilizar el teorema de Frobenius en su lugar.

No es difícil ver que la siguiente definición es equivalente a la anterior (asumiendo la condición de integridad).

Definición". : Un sistema integrable à la Liouville en una variedad simpléctica $(M,\omega)$ es un hamiltoniano $\mathbb{R}^n$ -acción $\rho:\mathbb{R}^n\to\mathrm{Diff}(M)$ cuyos subgrupos estabilizadores son discretos sobre un subconjunto denso abierto de $M$ junto con un mapeo comomentum equivariante $\mu^*:\mathbb{R}^n\to C^\infty(M;\mathbb{R})$ .

Permítanme describir el mapeo de comomentum y, a continuación, la acción. Fijando una base de $\mathbb{R}^n$ , $v_1,\dots,v_n\in\mathbb{R}^n$ se puede definir un mapeo lineal $\mu^*:\mathbb{R}^n\to C^\infty(M;\mathbb{R})$ por $\mu^*(v_j):=f_j$ , donde $f_j\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ es el $j$ -ésima componente de la cartografía $F:M\to \mathbb{R}^n$ definiendo el sistema integrable. Denotando por $X_j\in\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ el campo vectorial hamiltoniano asociado al $j$ -a componente del mapeo $F:M\to \mathbb{R}^n$ , $f_j\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ y $\exp(t_jX_j)\in\mathrm{Diff}(M)$ su flujo en el momento $t_j\in\mathbb{R}$ la acción $\rho:\mathbb{R}^n\to\mathrm{Diff}(M)$ es simplemente la composición de los flujos, es decir $\rho(t_1,\dots,t_n):=\exp(t_1X_1)\circ\cdots\circ\exp(t_nX_n)$ .

Ahora comentaré cada parte del teorema de Liouville y daré un esbozo de la prueba.

• Los campos vectoriales hamiltonianos generados por sus componentes definen una distribución integrable (en el sentido de Sussmann) del haz tangente cuyas hojas son genéricamente lagrangianas, con hojas singulares isótropas.

Por definición (o construcción), la acción infinitesimal es generada por los campos vectoriales hamiltonianos, $\rho_{*_e}(v_1),\dots,\rho_{*_e}(v_n)$ y proporcionan una base para el espacio tangente de una órbita en cualquiera de sus puntos, y $\omega(\rho_{*_e}(v_j),\rho_{*_e}(v_k))=\{f_j,f_k\}_\omega=0$ Por lo tanto, cada órbita que pasa por $p\in M$ es una submanifold isotrópica dada por las componentes conectadas de la preimagen por el mapeo de momento de $F(p)\in\mathbb{R}^n$ .

• Las componentes conectadas de la preimagen de los valores regulares (hojas regulares) son homogéneas $\mathbb{R}^n$ son difeomorfos a $\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{T}^m$ .

Las órbitas de esta acción que pasan por un punto $p\in M$ son difeomorfos al cociente de $\mathbb{R}^n$ por el subgrupo estabilizador $G_p:=\{g\in\mathbb{R}^n \ ; \ \rho(g)(p)=p \}$ .

No es difícil ver que las órbitas (regulares) son difeomorfas a $\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{T}^m$ y esto está implícito en los hechos algebraicos. Las órbitas regulares compactas son los famosos toros de Liouville.

• La foliación es una fibración lagrangiana en una vecindad de cada hoja regular; define un haz de fibras con fibras lagrangianas.

En un conjunto abierto $V\subset M$ donde cada $p,q\in V$ satisface $G_p\cong G_q$ uno tiene un haz de fibras. Esto es sólo una aplicación del teorema de Frobenius (o Sussmann).

En conclusión, los sistemas integrables inducen una foliación en la variedad simpléctica cuyas hojas son genéricamente lagrangianas (con hojas singulares isotrópicas) y difeomórficas a $\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{T}^m$ y cerca de cada hoja regular la foliación es una fibración lagrangiana.

Así, la pieza que falta en el teorema de Liouville es la linealización simpléctica de la acción hamiltoniana cerca de una órbita regular.

• Hay coordenadas en una trivialización local de cada hoja lagrangiana en la que $\omega$ está en forma de Darboux y los flujos inducidos por cada $f_j$ son lineales.

Es necesario demostrar un lema técnico ---Lema de Poincaré para foliaciones regulares--- antes de demostrar la linealización de la acción hamiltoniana.

Lema: Dejemos que $\alpha\in\Omega^k(M;\mathbb{R})$ sea un determinado conjunto cerrado $k$ -forma, $\mathrm{d}\alpha=0$ cuya restricción a una distribución integrable de rango constante $\mathcal{P}\subset\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ desaparece. Entonces, para cada vecindad trivializadora $A\subset M$ de la foliación regular definida por $\mathcal{P}$ existe un $\beta\in\Omega^{k-1}(A;\mathbb{R})$ tal que $\beta$ desaparece cuando se restringe a $\mathcal{P}$ y $\alpha=\mathrm{d}\beta$ en $A$ .

Se puede obtener una prueba de este resultado utilizando un operador de homotopía... en realidad es la misma prueba del lema tradicional de Poincaré.

Teorema de linealización: El hamiltoniano $\mathbb{R}^n$ -de un sistema integrable en $(M,\omega)$ puede ser linealizado simpléticamente cerca de cada una de sus órbitas regulares

Prueba: Cerca de cada órbita regular existe una estructura de haz de fibras trivial con el mapeo del momento como proyección. En esta trivialización local de esta fibración lagrangiana, las coordenadas de la base vienen dadas por las funciones $f_1,\dots,f_n\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ y las fibras están cubiertas por funciones de coordenadas $y_1,\dots,y_n\in C^\infty(A;\mathbb{R})$ con $A\cong (\mathbb{R}^{n-m}\times\mathbb{T}^m)\times\mathbb{R}^n$ y el $m$ funciones $y_{n-m+1},\dots,y_n$ periódico con períodos dados por $a_p\in\mathbb{R}^m$ .

Aplicando el lema de Poincaré para foliaciones regulares a la forma simpléctica $\omega$ en el haz de fibras trivial cerca de una órbita regular, con la distribución integrable $\mathcal{P}:=\langle \rho_{*_e}(v_1),\dots,\rho_{*_e}(v_n) \rangle_{C^\infty(M;\mathbb{R})}$ , uno tiene $\theta\in\Omega^1(A;\mathbb{R})$ satisfaciendo $\omega\big{|}_A=\mathrm{d}\theta$ y $\theta\big{|}_{\mathcal{P}}=0$ .

Desde $\theta\big{|}_{\mathcal{P}}=0$ para cada $X_j:=\rho_{*_e}(v_j)$ tiene $\imath_{X_j}\theta=0$ y porque $\omega\big{|}_A=\mathrm{d}\theta$ uno tiene $\imath_{X_j}(\mathrm{d}\theta)=-\mathrm{d} f_j$ Así, la derivada de Lie de $\theta$ con respecto a $X_j$ es \begin{equation} \mathcal{L}_{X_j}(\theta)=\imath_{X_j}(\mathrm{d}\theta)+\mathrm{d} (\imath_{X_j}\theta)=-\mathrm{d} f_j \ . \end{equation}

La condición $\theta\big{|}_{\mathcal{P}}=0$ también implica que $\theta=-\sum_{k=1}^{n}\theta_k\mathrm{d} f_k$ y la ecuación anterior dice \begin{eqnarray} -\mathrm{d} f_j=\mathcal{L}_{X_j}(\theta)&=&\mathcal{L}_{X_j}\left(-\sum_{k=1}^{n}\theta_k\mathrm{d} f_k\right)=-\sum_{k=1}^{n}\mathcal{L}_{X_j}(\theta_k\mathrm{d} f_k) \nonumber \\ &=&-\sum_{k=1}^{n}\left(X_j(\theta_k)\mathrm{d} f_k+\theta_k\mathcal{L}_{X_j}(\mathrm{d} f_k)\right) \nonumber \\ &=&-\sum_{k=1}^{n}\left(X_j(\theta_k)\mathrm{d} f_k+\theta_k\imath_{X_j}(\mathrm{d}\circ\mathrm{d} f_k)+\theta_k\mathrm{d} (\imath_{X_j}\mathrm{d} f_k)\right) \nonumber \\ &=&-\sum_{k=1}^{n}X_j(\theta_k)\mathrm{d} f_k \ , \end{eqnarray} cediendo $X_j(\theta_k)=\delta_{jk}$ .

La no degeneración de $\omega$ en realidad implica que $\mathrm{d}\theta_1,\dots,\mathrm{d}\theta_n$ son linealmente independientes sobre $A$ : \begin{equation} \omega\big{|}_A=\sum_{k=1}^{n}\mathrm{d} f_k\wedge\mathrm{d}\theta_k \ . \end{equation} Por lo tanto, el mapeo definido por $(f_1,\dots,f_n,y_1,\dots,y_n)\mapsto (f_1,\dots,f_n,\theta_1,\dots,\theta_n)$ es un difeomorfismo de $A$ .

El teorema ya está demostrado: en las coordenadas $(f_1,\dots,f_n,\theta_1,\dots,\theta_n)$ la forma simpléctica es simplemente la forma Darboux en $A$ y la acción hamiltoniana es lineal, es decir, viene dada por \begin{equation} (f_1,\dots,f_n,\theta_1,\dots,\theta_n)\mapsto (f_1,\dots,f_n,\theta_1+t_1,\dots,\theta_n+t_n) \ , \end{equation} donde $(t_1,\dots,t_n)\in\mathbb{R}^n$ porque $X_j(\theta_k)=\delta_{jk}$ .

Q.E.D.

Última observación: debido a los resultados de Eliasson y Miranda, este teorema también es válido cerca de cada órbita compacta no degenerada. Esta generalización no es trivial por la sencilla razón de que (en general) no existe un lema de Poincaré para foliaciones singulares, incluso en este caso particular de una foliación procedente de un sistema integrable con singularidades de tipo no degenerado.

Answer 2

Desde $F_1,\dots,F_n$ se suponen funcionalmente independientes en cada punto de $M_f$ también es cierto cerca de él, y en un subconjunto abierto $A\subset M$ (con $M_f$ ) se pueden encontrar funciones de coordenadas que completen el conjunto dado por $F_1,\dots,F_n$ ; permítanme llamar a esas funciones $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ .

En mi respuesta anterior mencioné que las órbitas regulares compactas son difeomorfas a los toros $\mathbb{T}^n$ y que

La foliación es una fibración lagrangiana en una vecindad de cada hoja regular; define un haz de fibras con fibras lagrangianas.

Las funciones de coordenadas $F_1,\dots,F_n,\varphi_1,\dots,\varphi_n$ son exactamente las que se utilizan para demostrar esta afirmación (véase el problema de la página 279 del libro de Arnold).

Como señala Arnold (al final de la página 279), en estas coordenadas la forma simpléctica (sobre $A$ ) no se escribe necesariamente como $\sum_{j=1}^{n}\mathrm{d}F_j\wedge\mathrm{d}\varphi_j$ .

Procede a definir (página 282) las funciones $I_1,\dots,I_n$ y asume que en lugar de $F_1,\dots,F_n,\varphi_1,\dots,\varphi_n$ se puede utilizar $I_1,\dots,I_n,\varphi_1,\dots,\varphi_n$ como funciones de coordenadas (página 283, que dice: $\mathrm{det}(\partial\mathbf{I}/\partial\mathbf{f})|_{\mathbf{f}}\neq 0$ ).

Observación: Mientras que Arnold procede a cambiar las funciones de coordenadas $F_j$ En mi primera respuesta cambio las funciones de coordenadas $\varphi_j$ ; esa es la principal diferencia en nuestros argumentos, y es por eso que puedo proporcionar una prueba semilocal directamente.

Permítanme mostrarles cómo construye estas nuevas funciones de coordenadas. Sus construcciones suponen que la variedad simpléctica es $\mathbb{R}^{2n}$ dotado de la estructura simpléctica canónica, aquí no voy a suponer esto: como el Cartel Original está interesado en la imagen global.

Un toro de Liouville se define como la preimagen de un punto $\mathbf{f}\in\mathbb{R}^n$ por la cartografía del momento $(F_1,\dots,F_n):M\to\mathbb{R}^n$ ,

$$M_\mathbf{f}:=\{x\in M \ ; \ (F_1(x),\dots,F_n(x))=\mathbf{f}\} \ , $$

y elegir $[\gamma_1],\dots,[\gamma_n]\in H_1^\infty(M_\mathbb{f};\mathbb{Z})$ generadores del primer grupo de homología singular suave del toro $M_\mathbb{f}$ (para más detalles sobre esta terminología, remito a los lectores a Introduction to smooth manifolds de Lee, pero esto es lo que Arnold está haciendo con sus ciclos al final de la página 282) se pueden definir funciones $I_j:A\subset M\to\mathbb{R}$ por

$$I_j(x):=\int_{\gamma_j}\theta \ ,$$

donde el $1$ -forma $\theta\in\Omega^1(A;\mathbb{R})$ es cualquier forma diferencial que satisface $\omega=\mathrm{d}\theta$ sobre el subconjunto abierto $A\subset M$ (véase la página 198 del libro de Arnold, y mis comentarios sobre el lema de Poincaré con parámetros; de lo contrario, se puede suponer simplemente que $M\cong\mathbb{R}^{2n}$ como hace Arnold en la página 282), y $\gamma_j$ son ciclos singulares suaves que representan $[\gamma_j]$ . Por puntos $x\in M_\mathbf{f}\cap A$ esto está bien definido (problema de la página 283 del libro de Arnold); cuando $x\in A$ no pertenece a un toro de Liouville que es una preimagen de $\mathbb{f}$ El hecho de que $A\cong\mathbb{T}^n\times\mathbb{R}^n$ implica que pertenece a otro toro de Liouville y los ciclos deben tomarse de ese toro en particular.

Ahora puedo discutir el teorema de la página 283 del libro de Arnold cuya demostración es la razón por la que estoy escribiendo esto. Afirma que las funciones de coordenadas $I_1,\dots,I_n,\varphi_1,\dots,\varphi_n$ satisfacer

$$\omega=\sum_{j=1}^{n}\mathrm{d}I_j\wedge\mathrm{d}\varphi_j \ , $$

sobre todo el subconjunto abierto $A\subset M$ .

Espero que el lector pueda apreciar el hecho de que $A\subset M$ es una vecindad del toro $M_\mathbf{f}$ y que estas coordenadas estén bien definidas en el conjunto de la misma (que es exactamente lo que pedía el cartel original).

Ahora, para la prueba Arnold observa que cualquier $\theta$ satisfaciendo $\omega=\mathrm{d}\theta$ en $A\subset M$ es cerrado cuando se restringe al submanifold $M_\mathbf{f}$ como la restricción de $\omega$ desaparece allí (el toro es un submanifold lagrangiano). Esta observación le permite definir una función $S:V\subset M_\mathbf{f}\to\mathbb{R}$ satisfaciendo $\theta=\mathrm{d}S$ sobre una vecindad contraíble $V\subset M_\mathbf{f}$ de un punto fijo $x_0\in M_\mathbf{f}$ (véase la página 198 del libro de Arnold). Esto está relacionado con mi uso de la versión foliada del lema de Poincaré en mi primera respuesta.

Por la definición de las funciones de coordenadas $I_j$ y aplicando el Teorema de Stokes, se "sostiene"

$$I_j=\int_{\gamma_j}\theta=\int_{\gamma_j}\mathrm{d}S=\int_{\partial\gamma_j}S=\Delta_jS \ .$$

El entrecomillado de "retenciones" se debe a $S$ no estar bien definido en el conjunto de $M_\mathbf{f}$ (hecho observado por Arnold al principio de la página 284).

Él, entonces, utiliza las funciones de coordenadas de Darboux $p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n$ sobre una vecindad abierta contráctil $W\subset M$ del punto $x_0\in M_{\mathbf{f}}$ (se puede tomar de manera que su intersección con $M_{\mathbf{f}}$ es $V$ ), y aplica el método de Hamilton-Jacobi que ha desarrollado en el capítulo 9 para concluir la demostración del teorema; siendo la función generadora

$$S(I_1,\dots,I_n,q_1,\dots,q_n)=\int_{\mathbf{q}_0}^{\mathbf{q}}\theta \ , $$

donde la integral se calcula a partir de cualquier curva en $M_{\mathbf{f}}$ unirse a $\mathbf{q}_0:=(q_1(x_0),\dots,q_n(x_0))\in M_{\mathbf{f}}$ y $\mathbf{q}:=(q_1,\dots,q_n)\in M_{\mathbf{f}}$ .

Las coordenadas locales $p_1,\dots,p_n,q_1,\dots,q_n$ se eligen aprovechando el hecho de que $M_{\mathbf{f}}\subset M$ es un submanifold lagrangiano (un manifold nulo como lo llama Arnold en la página 274); por tanto, un pequeño trozo del toro, $V=W\cap M_{\mathbf{f}}$ se puede realizar como una gráfica de una función $\mathbf{p}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{2n}$ . Este gráfico tiene la propiedad de que los valores de las funciones de coordenadas $I_1,\dots,I_n$ son constantes a lo largo de él, y varían a medida que uno se mueve desde un pequeño trozo de toro de Liouville $V\subset M_{\mathbf{f}}$ a un pequeño trozo de un toro de Liouville vecino (no es el mismo valor que $\mathbf{f}$ ). Por eso $I_1,\dots,I_n,q_1,\dots,q_n$ pueden tomarse como funciones de coordenadas independientes.

Es importante señalar que el uso del método de Hamilton-Jacobi (al menos de la forma en que se desarrolla en el libro) implica que la prueba es local, no se extiende automáticamente a una vecindad de un toro de Liouville. Sin embargo, si $\omega=\sum_{j=1}^{n}\mathrm{d}I_j\wedge\mathrm{d}\varphi_j$ se mantiene cerca de cada punto de $M_\mathbf{f}$ entonces se puede concluir que esto es cierto en una vecindad de $M_\mathbf{f}$ donde las funciones de coordenadas $I_1,\dots,I_n,\varphi_1,\dots,\varphi_n$ están bien definidos.

P.D: Un usuario me pidió que no borrara una versión anterior de esta respuesta, pero no pude cumplir mi promesa de hacerlo. Los que han votado esta respuesta son bienvenidos a seguir la demostración del teorema de linealización en mi primera respuesta a la pregunta original.