Fórmula integral de una ecuación de Poisson

Question

El dominio que estoy considerando es $\mathbb{R}^3$ menos una esfera centrada en el origen. Por lo tanto, es un sin límites dominio.

Me gustaría saber si existe una fórmula integral para representar las soluciones $u$ de la ecuación de Poisson $$-\Delta u=f,$$ con Condiciones de contorno de Neumann en la esfera $$\frac{\partial u}{\partial n}=g,$$ y otra condición apropiada para el "límite" en el infinito, como $\|\nabla u\|=0$ en el infinito.

En otras palabras, me gustaría saber si existe una fórmula similar a la tercera identidad de Green para este escenario.

Cualquier referencia será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

El Transformación Kelvin $$u^{*}(x^{*})= {\frac{1}{|x^{*}|^{{n-2}}}}u\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right),\qquad x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.$$ reduce el problema en el exterior a un problema en el interior de la bola, porque la función transformada $u^*$ satisface $$- \Delta u^{*}(x^{*})={\frac {R^{{4}}}{|x^{*}|^{{n+2}}}}f\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right)$$ Esto también sugiere una condición apropiada para imponer en el infinito: se necesita para que $u^*$ no se convierte en singular en $0$ .

La condición de contorno de Neumann exterior no homogénea se convierte en una condición de contorno de Neumann interior no homogénea, para una función $g^*$ que está relacionado con $g$ .

Queda por utilizar la representación integral de las soluciones en una bola, basada en la función de Neumann Green. Por suerte, la forma explícita de esta función es conocido por el caso $n=3$ La fuente es el libro Ecuaciones diferenciales parciales por Emmanuele DiBenedetto.