Minimización de las normas

Question

¿Cómo puedo minimizar lo siguiente?

$ min_{z>0} - zt + 1/2\ z\ ||\ Y + X_k\ /\ z\ ||_2^2 $

También, $X_k^TX_k = 1 \ \ \forall k $

Se me da que la respuesta debe ser : $ \sqrt{Y^T - 2t} + Y^TX$

Pero no entiendo cómo conseguir esto.

Estos son mis pasos hasta ahora:

Tomando la derivada y ajustando a $ 0$

$ X_k/z - Y^TX_k /z - 1/(z^2) = Y^TY - 2t $

Pero si tomara las raíces de esta ecuación la solución no sale : $ \sqrt{Y^T - 2t} + Y^TX$

¿Sugerencias?

Answer 1

Vas por buen camino; has cometido algún error en el cálculo de la derivada, y fíjate también que la pregunta te pide el mínimo y no el minimizador .

También podría ampliar ese producto interno:

$$\min_{z>0}\ -zt + \frac{1}{2} z\left(Y^T Y + Y^TX/z + X^TY/z + X^TX/z^2\right)$$ $$\min_{z>0}\ -zt + \frac{1}{2} \left(Y^T Yz + 2 X^TY + 1/z\right).$$ Diferenciando obtengo $$0 = -t + \frac{1}{2}Y^TY -\frac{1}{2}z^{-2}$$ así que $$z = (Y^T Y -2t)^{-1/2}.$$

Introduciendo este minimizador en el objetivo me da $$\frac{1}{2}(Y^TY-2t)(Y^TY-2t)^{-1/2} + X^TY + \frac{1}{2}(Y^TY-2t)^{1/2}$$ $$\frac{1}{2}(Y^TY-2t)^{1/2} + X^TY + \frac{1}{2}(Y^TY-2t)^{1/2}$$ $$\sqrt{(Y^TY-2t)} + X^TY$$

Te dejo que compruebes que el punto crítico anterior es efectivamente un mínimo local, y que este mínimo local es global.