Cambio de base de un $\mathbb{Z}$ -sistema de $\mathrm{Spec}(k)$ , $k$ un campo

Question

Considere una $\mathbb{Z}$ -sistema $\chi$ . Espero estar en lo cierto de que esto es sólo un esquema $\chi \mapsto \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ . Ahora dejemos que $k$ sea un campo cualquiera. Como tenemos un morfismo $\mathrm{Spec}(k) \mapsto \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ podemos formar el producto fibra $\chi \otimes_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})}\mathrm{Spec}(k) =: \chi_k$ . ¿Es esto correcto?

Dos preguntas elementales entonces:

1. Considere la $\mathbb{Z}$ -sistema $\chi = \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y])$ ¿Cómo es que $\chi_{\mathbb{F}_q}$ con $\mathbb{F}_q$ cualquier campo finito ?

2. Considere cualquier $\mathbb{Z}$ -y cualquier campo finito $\mathbb{F}_q$ . ¿Es entonces cierto que $\chi(\mathbb{F}_q) = \mathrm{hom}(\mathrm{Spec}(\mathbb{F}_q),\chi) = \mathrm{hom}(\mathrm{Spec}(\mathbb{F}_q),\chi_{\mathbb{F}_q})$ ?

Answer 1

Añadiendo a la respuesta de Mohan,

1. $\chi_{\mathbb{F}_q}$ está vacío, ya que el anillo $\mathbb{C}[x,y]\otimes_\mathbb{Z} \mathbb{F}_q$ es el anillo cero. En efecto, si $p = \text{char}(\mathbb{F}_q)$ , $1 = 1\otimes 1 = pp^{-1}\otimes 1 = p^{-1}\otimes p = p^{-1}\otimes 0 = 0$ . Por supuesto, puede reemplazar $\mathbb{C}[x,y]$ con cualquier anillo en el que $p$ es invertible.

2. Por la propiedad universal del producto fibra (y el hecho de que $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ es el objeto terminal de la categoría de esquemas), $$\text{hom}(\text{Spec}(\mathbb{F}_q),\chi_{\mathbb{F}_q}) \cong \text{hom}(\text{Spec}(\mathbb{F}_q),\chi)\times \text{hom}(\text{Spec}(\mathbb{F}_q),\text{Spec}(\mathbb{F}_q)).$$ Cuando $q$ es primo, esto es naturalmente isomorfo a $\text{hom}(\text{Spec}(\mathbb{F}_q),\chi)$ pero aquí estás usando el hecho de que $\mathbb{F}_q$ no tiene endomorfismos no triviales. Si en su lugar se utiliza un campo $k$ que tiene endomorfismos no triviales (como $\mathbb{F}_{p^n}$ para $n>1$ o $\overline{\mathbb{F}_p}$ o $\mathbb{C}$ ), entonces a $k$ -punto del cambio de base $\chi_k$ es un $k$ -punto de $\chi$ junto con un "giro" de la gavilla de la estructura que proviene de un mapa $k\to k$ . Esto se arregla pensando en $\chi_k$ como $k$ -y observando los morfismos de $k$ -(que conservan el mapa de la estructura $\chi_k\to \text{Spec}(k)$ ). Así que la afirmación general correcta es $$\text{hom}_\mathbb{Z}(\text{Spec}(k),\chi) \cong \text{hom}_k(\text{Spec}(k),\chi_k)$$

Answer 2

1. $\chi_{\mathbb{F}_q}$ está vacía.

2. Esto es correcto.