Encuentre $E[S]$ donde $S$ es la desviación estándar de una muestra aleatoria de un $N(\mu,\sigma^2)$ población.

Question

Recordemos que para un $N(\mu,\sigma^2)$ población $W=\frac{n-1}{\sigma^2}S^2\sim \chi^2(n-1)$ .

[a] Encontrar $E[S]$ donde $S$ es la desviación estándar de una muestra aleatoria de un $N(\mu,\sigma^2)$ población.

[b] Utilice su respuesta para construir un estimador insesgado de $\sigma$ .

[c] Utilice su estimador insesgado para estimar $\sigma$ basado en una muestra aleatoria de tamaño 7 con una desviación estándar de la muestra de 5.

Vale, me está costando mucho la parte [a]. Sabiendo que $\frac{n-1}{\sigma^2}S^2\sim \chi^2(n-1)$ , me resultó fácil demostrar que $E[S^2]=\sigma^2$ . Pero encontrar $E[S]$ es un problema. Me gustaría simplemente encontrar $E[\sqrt{S^2}]$ pero no creo que ese sea el camino que debo seguir. Usé la desigualdad de Jensen para mostrar que $E[S]>\sigma$ pero eso no es suficiente. Cualquier ayuda será muy apreciada. Con suerte, si puedo resolver [a], no debería ser demasiado difícil completar las partes [b] y [c].

Answer 1

Si $\frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2(n-1)$ se distribuye por chi-cuadrado con $(n-1)$ grados de libertad, entonces podemos escribir

$$\frac{n-1}{\sigma^2} S^2 = \sum_{j=1}^{n-1} X_j^2$$

donde $X_j \sim N(0,1)$ son variables aleatorias iid. En

$$S = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1} \sum_{j=1}^{n-1} X_j^2}.$$

concluimos

$$\begin{align*} \mathbb{E}(S) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1} } \int \sqrt{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2} \, d\mathbb{P}_{X_1,\ldots,X_{n-1}}(x_1,\ldots,x_{n-1}) \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1} } \int \!\! \ldots \!\! \int \sqrt{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2} \prod_{j=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left(- \frac{x_j^2}{2} \right) \, dx_1 \ldots dx_{n-1} \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1} } \frac{1}{\sqrt{2\pi}^{n-1}} \int \ldots \int \sqrt{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2} \exp \left(- \frac{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2}{2} \right) \, dx_1 \ldots dx_{n-1}. \end{align*}$$

Introducción a la generalización $(n-1)$ -coordenadas polares, encontramos

$$\begin{align*} &\quad \int \ldots \int \sqrt{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2} \exp \left(- \frac{x_1^2+\ldots+x_{n-1}^2}{2} \right) \, dx_1 \ldots dx_{n-1} \\ &= \sigma_{n-2} \int_0^{\infty} r \exp \left(-\frac{r^2}{2} \right) r^{n-2} \, dr \\ &= \sigma_{n-2} \sqrt{2}^{n-2} \int_0^{\infty} s^{\frac{n-2}{2}} e^{-s} \, ds \\ &= \sigma_{n-2} 2^{\frac{n-2}{2}} \Gamma \left( \frac{n}{2} \right) \end{align*}$$

donde $$\sigma_{n-2} = 2\pi^{\frac{n-1}{2}} \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)}$$ denota la superficie del $(n-1)$ -Esfera de dimensiones. Combinando ambas igualdades se obtiene

$$\mathbb{E}(S) = \sqrt{\frac{2\sigma^2}{n-1} } \frac{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)}.$$

Observación: Un examen detallado del cálculo anterior revela que la densidad de la distribución de $\sqrt{\frac{n-1}{\sigma^2}} S$ es igual a

$$p(x) = \frac{2^{1-(n-1)/2}}{\Gamma \left( \frac{n-1}{2} \right)} x^{n-2} e^{-x^2/2}.$$

Utilizando esta densidad, podemos calcular fácilmente los momentos superiores $\mathbb{E}(S^k)$ .