Supongamos que $E[|X|^p ]< \infty$ para el $p \in \mathbb{R}^{+}$ .
Cómo demostrar que la siguiente expresión tiene un mínimo \begin{align} \inf_{k \in \mathbb{R}} E[|X-k|^p] \end{align}
Es decir $\inf_{k \in \mathbb{R}} E[|X-k|^p]=\min_{k \in \mathbb{R}} E[|X-k|^p]$ y la minimización $k$ existe. Observe que no estoy buscando lo que $k$ es simplemente que existe. Sin embargo, saber qué $k$ es una ventaja.
Es evidente que el infimo existe ya que \begin{align} 0 \le \inf_{k \in \mathbb{R}} E[|X-k|^p] \le E[|X-0|^p]=E[|X|^p] < \infty \end{align}
Esta es mi solución para cuando $p$ es un número entero par
\begin{align} \inf_{k \in \mathbb{R}} E[|X-k|^p]&=\inf_{k \in \mathbb{R}} E[(X-k)^p] \text{ used the fact that $p$ is even}\\ &= \inf_{k \in \mathbb{R}} E \left[ \sum_{n=0}^p { p \choose n} X^{p-n}k^{n} \right] \text{ Binomial formula}\\ &=\inf_{k \in \mathbb{R}} \sum_{n=0}^p { p \choose n} E\left[ X^{p-n} \right] k^{n} \end{align} donde la expectativa $E\left[ X^{p-k} \right]$ existe desde $E\left[ |X|^{p} \right]$ existe.
Ahora el $\inf_{k \in \mathbb{R}} \sum_{n=0}^p { p \choose n} E\left[ X^{p-n} \right] k^{n}$ es un polinomio de grado par y por tanto tiene un mínimo. Así, para $p$ incluso \begin{align} \inf_{k \in \mathbb{R}} \sum_{n=0}^p { p \choose n} E\left[ X^{p-n} \right] k^{n}=\min_{k \in \mathbb{R}} \sum_{n=0}^p { p \choose n} E\left[ X^{p-n} \right] k^{n} \end{align}
y existe una minimización $k$ .
Mi pregunta es cómo extender esta prueba a cualquier $k>0$ .
Gracias, espero su aportación.
Editar
Basado en la discusión en los comentarios: Hemos podido demostrar que para $p \ge 1$ la función $f(y)=E[|X-y|^p]$ es continua. Para ello se utiliza el teorema de convergencia dominada.
Otra, propiedad que hemos podido demostrar es que si $y_n$ es tal que \begin{align} \lim_{n\to \infty} E[(X-y_n)^p]=\inf_{y}E[|X-y|^p] \end{align} entonces $y_n$ está acotado.
Sin embargo, todavía no estoy seguro de cómo esto implica que existe $y_0$ que minimiza $f(y)=E[|X-y|^p]$ ? Por favor, ayuda.
