Explicación intuitiva de varianza y de momento en la probabilidad

Question

Si bien entiendo la intuición detrás de expectativas, no entiendo el significado de la varianza y momento.

¿Qué es una buena manera de pensar de esos dos términos?

Answer 1

Hay muchas respuestas posibles, dependiendo de cómo la intuición funciona y la experiencia de uno con cosas relacionadas, como promedio, $L^p$ normas, etc. Una respuesta que se basa en su intuición de una expectativa es pensar de la mayor central momentos como ponderado de las expectativas. El tercer momento central, por ejemplo, se define como la expectativa de la tercera poderes de desviaciones de la media. Dividir una tercera potencia en dos partes: una es la desviación de la media (vamos a llamar, después de estadística común lenguaje, la "residual") y el otro es el cuadrado de la desviación de la media (ergo, el cuadrado de la residual). El tratamiento de este último como un peso. Como el residual se hace más grande en tamaño, estos pesos se hacen más grandes (en una ecuación cuadrática de la moda). El tercer momento central es el promedio ponderado de la "media" de los residuos. (Tengo que poner el "promedio" entre comillas porque, estrictamente hablando, para merecer ser llamado un promedio de uno requeriría que los mismos pesos en promedio a 1, pero no suelen hacer eso.) Por lo tanto, el tercer momento central da desproporcionadamente mayor énfasis a la más grande de los residuos en comparación con los más pequeños. (Es posible que el énfasis ser tan grande que el tercer momento central aún no existe: si la probabilidad no se descompone con rapidez suficiente con el tamaño de los residuos, los pesos pueden pantano de la probabilidad, con el efecto neto de la creación de un ser infinitamente grandes tercer momento central.)

Se puede entender, e incluso analizar, todos los otros momentos principales de la misma manera, incluso fracciones de momentos y absoluta momentos. Debe ser inmediatamente evidente, por ejemplo, que el más alto es el momento, más los pesos se hace hincapié en los valores extremos: la mayor central de los momentos de medida (promedio) comportamiento de la distribución de probabilidad a mayor distancia de la media.

Answer 2

La varianza de r.v. $X$ $Var(X) = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$ . La varianza se utiliza como una medida de la dispersión de una variable aleatoria. Si usted está interesado en cómo la medida de una variable aleatoria es de lo esperado; tal vez usted podría considerar la posibilidad de $\mathbb{E}(|X-\mathbb{E}(X)|)$, pero a ver: http://stats.stackexchange.com/questions/118/standard-deviation-why-square-the-difference-instead-of-taking-the-absolute-val por qué esto usamos la plaza del lugar.

Para todos, excepto el primer momento (es decir, la media) de la central de momentos (centrado alrededor de la media) son mucho más interesantes.

Como para el $r$th (central) momento de la $X$$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^r]$. El menor de los momentos ($r<5$) están relacionadas con las propiedades de la distribución:

$r=0$ $1$

$r=1$ $0$

$r=2$ es la varianza que es una medida de la propagación de la media.

$r=3$ está relacionado con la asimetría que es una medida de la asimetría de la distribución. Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Skewness

$r=4$ está relacionado con kurtois que es una medida de la 'peakedness' de una distribución. Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis

Para $r\geq5$ se vuelven un poco más difícil de calcular. El $5th$ momento central es una medida de la asimetría de las distribuciones de colas, pero me gustaría utilizar la asimetría en su lugar.

Answer 3

La localización y la distribución probabilística de las medidas puede ser "visto" como las correspondientes vivencias de los sistemas mecánicos de "probabilística de masas".

La expectativa tiene la siguiente interpretación mecánica. Dado que el $F(x)$ es la "probalilistic masa" contenida en el intervalo de $0\le X\lt x$ (en una dimensión), la esperanza matemática de la variable aleatoria $X$ es la estática momento con respecto al origen de la "probabilística de masas" del sistema.

La varianza es la mecánica analógica del momento de inercia de la "probabilística de masas" del sistema respecto al centro de masas.

La varianza de la variable aleatoria $X$ es el 2º fin de impulso de $X-m$ donde $m$ es la expectativa de $X$, es decir,$m=E(X)=\displaystyle\int x dF(x)$ ($F(x)$ es el repartion función).

El $k$-fin de impulso es la expectativa de $(X-m)^k$.

Answer 4

La varianza es la desviación cuadrada prevista entre la variable aleatoria y su expectativa.

Mide cuánto la variable aleatoria dispersa o se extiende alrededor de su expectativa.