Considere la siguiente integral $$\iint_Ax^\alpha y^\beta \space dA$$ donde $A=\{(x,y)\space|\space0\leq y\leq1-x,x\geq0\}$ . Encuentre todos los valores posibles de $\alpha$ y $\beta$ para la que converge esta integral. Justifica tu respuesta.
Tengo que cuando $b > -1$ la primera parte de la integral es convergente, entonces se convierte en $$\int_0^\infty\frac{x^\alpha(1-x)^{b+1}}{b+1}dx$$
pero no tengo ni idea de cómo encontrar uno. ¿Alguien podría ayudarme, gracias?
La primera desigualdad que define la región $A$ estados $0\leq y \leq 1-x$ . Bueno, en realidad son dos desigualdades encadenadas, y por transitividad implican $0\leq 1-x$ o, por el contrario $x\leq 1$ . Combinando esta implicación con la segunda desigualdad que define $A$ , $0\leq x$ vemos que el $x$ coordenadas de puntos en $A$ en realidad tienen límites finitos, a pesar de las primeras apariencias:
$$0\leq x \leq 1$$ .
Así que la integral que debes evaluar es en realidad,
$$\int_0^1\frac{x^\alpha(1-x)^{b+1}}{b+1}dx,$$
que es esencialmente el Función beta .
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