Demuestra que la secuencia recurrente converge

Question

Tras el problema de probabilidad

Supongamos que tenemos la secuencia

$$p_1=\frac{2}{3}$$ $$p_n=\frac{2-p_{n-1}}{3}$$

Obviamente, si el límite existe, es $p_\infty=1/2$

¿Cómo se demuestra la convergencia?

Answer 1

Observe que $2p_n-1=\frac{1-2p_{n-1}}{3}$ de lo que se deduce que $$ \left|p_n-\tfrac12\right|=\frac{\bigl|p_{n-1}-\tfrac12\bigr|}{3}=\frac{\bigl|p_{n-2}-\tfrac12\bigr|}{3^2}=\cdots =\frac{\bigl|p_{1}-\tfrac12\bigr|}{3^{n-1}}=\frac{1}{2\cdot 3^n}, $$ y por lo tanto la distancia a $\tfrac12$ disminuye exponencialmente a $0$ .

Answer 2

Podrías mostrar $p_n=\dfrac12-\dfrac12\left(-\dfrac13\right)^n.$

Answer 3

Si se resuelve la ecuación de recurrencia $$p_n=\frac{2-p_{n-1}}{3} \qquad \text{with} \qquad p_1=a$$ debería encontrar que $$p_n=\frac 12\left(1+(-1)^n \frac {1-2a}{3^{n-1}}\right)$$

Una forma sencilla podría ser: dejar que $p_n=q_n+b$ y reemplazar para obtener $$\frac{4 b-2}{3}+\frac{1}{3} q_{n-1}+q_n=0$$ y elegir $b=\frac 12$ reduce la ecuación a $$\frac{1}{3} q_{n-1}+q_n=0\implies q_n=c_1 \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\implies p_n=\frac 12+c_1 \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$ y $p_1=a$ lleva a $c_1=\frac{2a-1}{2} $

Answer 4

La palabra clave aquí es secuencia geométrica aritmética .

Una secuencia $\{p_n\}_{n\geqslant 1}$ es aritmético-geométrico si existen constantes $a$ y $b$ tal que $p_{n+1}=ap_n+b$ por cada $n \geqslant 1$ .

En lo que sigue, supondré que $a\neq 1$ (de lo contrario, la secuencia es simplemente aritmética).

Consideremos la función lineal $f(x)=ax+b$ . Desde $a\neq 1$ , $f$ tiene un punto fijo $\ell$ (es decir $f(\ell)=\ell$ ). En el ejemplo de la OP, tenemos $f(x)=\frac{2-x}{3}$ y $\ell=\frac{1}{2}$ .

Considere ahora $q_n=p_n-\ell$ . Entonces $\{q_n\}$ es geométrico de razón común $a$ y primer término $q_0=p_0-\ell$ . De hecho,

$$q_{n+1}=p_{n+1}-\ell = (a p_n + b) - (a\ell + b) = a(p_n - \ell) = a q_n$$

Por lo tanto, tenemos $q_n=a^{n-1}q_0$ así que $p_n = a^{n-1}(p_0-\ell)+\ell$ . En el ejemplo de la OP, tenemos $p_{n} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{2}$ .

Finalmente,

• En el caso de que $|a|<1$ la secuencia $\{p_n\}$ converge a $\ell$ .
• En el caso de que $|a|>1$ la secuencia es divergente.

Answer 5

Dejemos que $f(x)=\frac{2-x}{3}$ . Entonces $f'(x)=-\frac{1}{3}$ y así $|f'(x)|<1$ . Por lo tanto, $f$ es una contracción y por lo tanto iterar $f$ converge a su único punto fijo, independientemente del punto inicial que se tome ( Teorema del punto fijo de Banach ).