Cómo demostrar que los números irracionales en $[0,1]$ puede expresarse como la intersección de un número contable de conjuntos abiertos?

Question

Y tampoco se puede expresar como la unión contable de conjuntos cerrados. ¿Por qué?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

Para la primera pregunta, utilice el hecho de que $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ es contable, y que los puntos son cerrados.

Para la segunda pregunta, intenta utilizar el teorema de la categoría Baire.

Answer 2

Por cada $q\in \mathbb{Q}\cap [0,1], U_q=[0,1]-\{q\}$ está abierto en $[0,1]$ Considera que $\bigcap_{q\in\mathbb{Q}}U_q$ .