Mostrando que hay 6 valores posibles para la relación cruzada

Question

Si nos fijamos en la relación cruzada $(x_0 x_1:x_2 x_3) = \lambda$ de 4 puntos en el espacio proyectivo, puedo ver que observando todas las permutaciones posibles (24 de ellas) de los puntos podemos ver que sólo 6 de ellas dan la misma relación cruzada.

Es decir $\lambda, \frac{1}{\lambda}, 1-\lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda -1}, \frac{\lambda-1}{\lambda}$

¿Existe una forma más eficiente de ver esto en lugar de calcular las 24 permutaciones?

Answer 1

Escribe el producto cruzado como

$$ \lambda = \frac{(x_1-x_3)(x_2-x_4)}{(x_2-x_3)(x_1-x_4)} $$

Como tenemos el grupo de permutación $S_4$ sólo necesitamos los generadores $(12)$ , $(13)$ y $(14)$ .

Ahora

$$(12) \lambda = \frac{(x_2-x_3)(x_1-x_4)}{(x_1-x_3)(x_2-x_4)} = \frac{1}{\lambda}$$ $$(13) \lambda = \frac{(x_3-x_1)(x_2-x_4)}{(x_2-x_1)(x_3-x_4)} = \frac{\lambda}{\lambda - 1} $$ $$(14) \lambda = \frac{(x_4-x_3)(x_2-x_1)}{(x_2-x_3)(x_4-x_1)} = 1 - \lambda $$

Lo que encontramos es que

$$1 \lambda = 1$$ $$(12)(34) \lambda = \lambda$$ $$(13)(24) \lambda = \lambda$$ $$(14)(23) \lambda = \lambda$$

que es el grupo de Klein-Four $V_4$ ,

Así que podemos escribir $S_n = V_4 \otimes S_3$

$V_4$ tiene 4 elementos y $S_3$ tiene 6 elementos. El $S_3$ da la

$$\lambda, \frac{1}{\lambda}, 1 - \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda}{1-\lambda}, \frac{1-\lambda}{\lambda}$$

En total tenemos $24 = 4 \times 6$ .