El producto cartesiano de una cantidad infinita de conjuntos finitos biyecta a?

Question

Tengo una cantidad infinita de conjuntos que contienen dos valores cada uno. $A_1 = \{a_1,_1; a_1,_2\}$ ... $A_n = \{a_n,_1; a_n,_2\}$ y así sucesivamente
Si se hace un producto cartesiano de todos estos conjuntos $A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n \times \ldots$ , será el producto una biyección a, o en otras palabras, será la cardinalidad igual a la de los números naturales $\mathbb{N}$ o números reales $\mathbb{R}$ ?
Disculpe si mi pregunta es confusa debido a los términos erróneos.

Answer 1

Para concretar, y sin pérdida de generalidad, vamos a suponer $A_1=A_2=\dots=A_n=\dots$ y etiquetar sus dos elementos $0$ y $1$ .

¿Qué se puede decir del conjunto $\prod_{n=1}^\infty A_n$ , digamos que en comparación con $[0,1)$ ? (Por ejemplo, pensando en la expansión binaria).