Demostrando que $(1+|x|^2e^{|x|^2})^{-1}$ está acotado polinomialmente.

Question

Como prueba que, para cualquier $\alpha=(\alpha_1,\cdots, \alpha_n)$ multiíndice, y $x\in\mathbb{R}^n$ Y un número suficiente de $|x|$ ,

$D^{\alpha} ((1+|x|^2e^{|x|^2})^{-1})$ ¿está acotado polinomialmente? (es decir, existe $N=N(\alpha), C=C(\alpha)$ constantes con $|D^{\alpha}((1+|x|^2e^{|x|^2})^{-1})|\leq C[1+|x|^2]^{N})$ )

Lo tengo: Deja que $f(t)=(1+te^{t})^{-1}$ entonces $f(|x|^2)=(1+|x|^2e^{|x|^2})^{-1}$

Ahora, \begin{align}D^{\alpha} ((1+|x|^2e^{|x|^2})^{-1})&={\partial_{x_1}^{\alpha_1}}\cdots {\partial_{x_n}^{\alpha_{n}}} f(|x|^2)\\ &={\partial_{x_n}^{\alpha_n}}\cdots {\partial_{x_1}^{\alpha_{1}}} f(|x|^2)\\ &={\partial_{x_n}^{\alpha_n}}\cdots \underbrace{\partial_{x_1}\cdots \partial_{x_1}}_{\alpha_1 \text{times}} f(|x|^2)\\ &={\partial_{x_n}^{\alpha_n}}\cdots \underbrace{\partial_{x_1}\cdots \partial_{x_1}}_{\alpha_1-1\text{ times}} f'(|x|^2)2x_1\\ &={\partial_{x_n}^{\alpha_n}}\cdots \underbrace{\partial_{x_1}\cdots \partial_{x_1}}_{\alpha_1-2\text{ times}} (f''(|x|^2)2^2x_1^{2}+f'(|x|^2)2)\\ \vdots \end{align}

y los cálculos se vuelven muy complicados...

¿Hay algún libro o texto donde haya ejercicios similares? para ver cómo es el procedimiento para calcular muchas derivadas.

Answer 1

Me disculpo, ¡no es tan fácil!

En lugar de buscar la inducción, intentemos crear un lema que demuestre que $D^{\alpha}$ parece una función con una forma determinada. A continuación, demostraremos que toda función con dicha forma está acotada polinómicamente.

Así que crearemos este lema, después de observar las formas de las primeras derivadas de $f$ . Sin embargo, demostraremos este lema por inducción.

En primer lugar, dejemos que $L[\{d_i\}]$ , donde $d_i$ son variables/constantes, denotan alguna combinación lineal de estas variables. Por ejemplo, $L[e^t,t]$ podría ser $2e^t - 5t$ o $77e^t + 12 t$ pero no $5te^t$ por ejemplo.

Reclamación : Para cada $\alpha$ tenemos: $$ D^{\alpha}f(x) = \sum_{k=0}^{2^{|\alpha|}}q_k(x_1,...,x_n)\frac{L[\{t^ie^{jt} : 0 \leq i,j < k\}]}{(1+te^t)^{k}} $$

donde $p_i,q_i$ son polinomios de grado total como máximo $|\alpha|$ y $t = |x|^2$ . (Es decir, los numeradores son combinaciones lineales fijas de los parámetros dados). Obsérvese que la suma es de $k=0$ a $2^{|\alpha|}$ .

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Para demostrarlo, diferenciamos y comprobamos. Veamos los detalles.

El caso base debe ser $\alpha = 0$ , vamos a ir con $\alpha = 1$ . Aquí, la derivada como ya vimos es $2x_i\frac{(e^t+te^t)}{(1+te^t)^2}$ , que encaja con $q_0,q_1 \equiv 0$ , $q_2 = 2x_i$ y $L = te^t + e^t$ .

Supongamos ahora que esto es cierto para $|\alpha| = n$ y tratar de probarlo para $|\alpha| = n+1$ .

WLOG, supongamos que estamos diferenciando con respecto a $x_1$ . Para los polinomios $q_k$ denotamos la derivada con respecto a la primera variable por $q_k'$ .

Para ello, diferenciemos cada término de la forma $q_k(x_1,...,x_n)\frac{L[t^ie^{jt} : 0 \leq i,j < k]}{(1+te^t)^k}$ .

Para ello, utilicemos la regla del producto, con partes $q_k$ y la fracción Ahora, ¿cuál es la derivada de la parte fraccionaria?

Tenga en cuenta que $(1+te^t)^k = L[\{t^ie^{it} : 0 \leq i \leq k\}]$ por el teorema del binomio. Ahora, la derivada de esto es también algo $L[\{t^ie^{it} : 0\leq i \leq k\}]$ . Algo similar ocurre con el numerador. Recordemos la derivada de $\frac uv$ es $\frac{vu'-uv'}{v^2}$ . Con el $u,v$ dado aquí en esta fracción aquí, te dejo para verificar que $vu'-v'u \in L[\{t^ie^{jt} : 0 \leq i,j < 2k\}]$ .

Con eso, la derivada es : $$ q_k'(x_1,...,x_n)\frac{L[t^ie^{tj} : 0 \leq i,j < k]}{(1+te^t)^k} + 2x_1q_k(x_1,...,x_n)\frac{L[{t^ie^{tj} : 0 \leq i,j < 2k}]}{(1+te^t)^{2k}} $$

donde $q_k'$ y $2x_1q_{k}$ son polinomios de grado máximo $|\alpha| + 1$ . Además, $2k \leq 2^{|\alpha| + 1}$ y ahora las cosas están claras: después de combinar "términos similares" según la suma del teorema, obtenemos el resultado.

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Teniendo esto en cuenta, tenemos este lema.

Por cada $k$ la función $f_k(x) = \frac{L[\{t^ie^{tj} : 0 \leq i,j < k\}]}{(1+te^t)^k}$ para $t = |x|^2$ está acotado en $\mathbb R^n$ .

La razón es sencilla: dividir la parte superior e inferior de $f_k$ por $t^ke^{tk}$ para obtener : $$ \frac{L[\{t^{i}e^{tj} : i,j < 0\}]}{\left(1+\frac{1}{te^t}\right)^k} $$

como $t \to \infty$ Esta función tiene un límite $0$ ya que la parte superior tiene límite cero y la inferior tiene límite $1$ . Por lo tanto, está acotado para grandes $|x| >R$ . Para los pequeños $|x|$ se tiene que es una función continua para $|x| \leq R$ que es compacto, por lo que está acotado. Ahora puedes concluir.

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¿Y ahora qué? Poner todos los $q_k$ junto con las constantes de delimitación, y tienes un polinomio que está ahí delimitando todos ellos. Todas las cosas son de grado máximo $\alpha$ . Tal vez tomando, digamos $N= \alpha + 1$ entonces hace el trabajo.

Answer 2

Debemos demostrar que $|D^{\alpha}(1+|x|^2e^{c|x|^2})^{-1}|\leq C(1+|x|^2)^{N}$ equivalente a $|\partial_{x_n}^{\alpha_n}\cdots \partial_{x_1}^{\alpha_1}f(|x|^2)|\leq C(1+|x|^2)^N$ donde $f(t)=(1+te^{ct})^{-1}$ .

Afirmación. Para cualquier $\alpha_1$ no es negativo, $$\partial_{x_1}^{\alpha_1}f(|x|^2)=\sum_{i=0}^{\alpha_1} C_i f^{(i)}(|x|^2)x_1^{N_i}$$ con $C_i,N_i$ constantes. Para ver esto, fíjate en que:

Para $\alpha_1=0$ , $f(|x|^2)=C_0f^{(0)}(|x|^2)x_1^{N_0}$ con $C_0=1$ y $N_0=0$ retenciones. Para $\alpha_1=1,\ f'(|x|^2)2x_1=C_0f^{(0)}(|x|^2)x_1^{N_0}+C_1f'(|x|^2)x_1^{N_1}$ con $C_0=0,\ C_1=2,\ N_1=1$ se mantiene.

Para $\alpha_1=2,\ f''(|x|^2)2^2x_1^2+f'(|x|^2)2=C_0f^{(0)}(|x|^2)x_1^{N_0}+C_1f'(|x|^2)x_1^{N_1}+C_2f''(|x|^2)x_1^{N_2}$ con $C_0=0,\ C_1=2, N_1=0,\ C_2=2^2,\ N_2=2$ tiene

Ahora que tenemos una fórmula para el primer $\alpha_1 $ -derivados de nuestra función debemos continuar con $\partial_{x_2}^{\alpha_2} \sum_{i=0}^{\alpha_1} C_i f^{(i)}(|x|^2)x_1^{N_i}$ . De la misma manera, $$\partial_{x_2}^{\alpha_2} \sum_{i=0}^{\alpha_1} C_i f^{(i)}(|x|^2)x_1^{N_i}=\sum_{i,j=0}^{\alpha_1,\alpha_2}C_iD_jf^{(i+j)}(|x|^2)x_i^{N_i}x_j^{N_j}$$ .

Análogamente , $$\partial_{x_n}^{\alpha_n}\cdots \partial_{x_1}^{\alpha_1}f(|x|^2)=\sum_{i_1,\ldots, i_n=0}^{\alpha_1 \ldots, \alpha_n} C_{i_1}^{1}\cdots C_{i_n}^{n}f^{(i_1+\cdots +i_n)}(|x|^2)x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}$$

más, $((1+te^{t})^{-1})^{(k)}=\sum_{i=1}^{k}C_i(1+te^{t})^{-1-i}{(te^{t})^{(1)}}^{P_{i1}}\cdots {(te^{t})^{(n)}}^{P_{in}}$ con $\sum_{j=1}^{n}P_{ij}=i$ y $C_i$ constantes. Por lo tanto: (con $a(|x|^2)=|x|^2e^{|x|^2})$ \begin{align*}|\partial_{x_n}^{\alpha_n}\cdots \partial_{x_1}^{\alpha_1}f(|x|^2)|&=| \sum_{i_1,\ldots, i_n=0}^{\alpha_1 \ldots, \alpha_n } C_{i_1}^{1}\cdots C_{i_n}^{n}\sum_{i=1}^{i_1+\cdots+i_n} C_i(1+a(|x|^2)^{-1-i}(a'(|x|^2)^{P_{i1}}\cdots (a^n(|x|^2)^{P_{in}}x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}|\\ &= C(1+a(|x|^2)^{-1-i}|(a'(|x|^2)^{P_{i1}}|\cdots |(a^n(|x|^2)^{P_{in}}||x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}|\\ &\leq C(1+a(|x|^2)^{-1-i}|(1+a(|x|^2))^{P_{i1}}|\cdots |(1+a(|x|^2)^{P_{in}}||x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}| \\ &=C|(1+a(|x|^2)^{-1-i}|(1+a(|x|^2))^{\sum_{j=1}^{n}P_{ij}}||x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}| \\ &=C|(1+a(|x|^2)^{-1-i}|(1+a(|x|^2))^{i}||x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}| \\ &=C1+a(|x|^2)^{-1}|x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}|\\ &=C(1+a(|x|^2))^{-1}|x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}|\\ &=C(1+|x|^2e^{c|x|^2})^{-1}|x_1^{N_{i_1}}\cdots x_n^{N_{i_n}}|\\ &\leq \tilde{C}(1+|x|^2)^{N} \end{align*} para algunos $\tilde{C}$ y $N$ constantes.

Tengo una duda:

$(te^{t})^{(k)}=e^{t}(t+k) $

¿Es correcta la siguiente desigualdad? $e^{t}(t+k)\leq C(k)te^{ct}$ para algunos $C(k)$ constante