Una condición suficiente para que una distribución sea templada

Question

Reclamar: Que $T$ sea una distribución en $\mathbb R^n$ tal que $\nabla T$ pertenece a $L^p(\mathbb R^n)$ para algunos $p\in [1,+\infty]$ . Entonces $T$ es una distribución templada, es decir, pertenece al dual topológico de la clase Schwartz $\mathscr S(\mathbb R^n)$ .

Creo que la afirmación anterior es cierta, pero no tengo una prueba completa.

Answer 1

Hagámoslo en dimensión $1$ . Por la desigualdad de Holder $$\int_0^x|f'(x)|dx\leq \| f'\|_p|x|^{1-1/p}.$$ Una distribución con derivada localmente integrable es una función continua, $$f(x)=f(0)+\int_0^xf'(x)dx=O(|x|^{1-1/p}),\quad x\to\infty.$$ Así, $$(f,\phi)=\int f\phi$$ es absolutamente convergente y define una función lineal acotada en $\mathscr S$ , que es una distribución atemperada. Para una dimensión superior la prueba es esencialmente la misma.