Dado un conjunto $X$ tenemos una relación $T$ de $P(X)\times P(X)$ a $P(X \times X)$ así se define :
$$T = \{ ((A,B), A \times B) : A, B \in P(X) \}$$
Es $T$ ¿una función? ¿Es sobre u ono a uno?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para demostrar que $T$ es una función, hay que demostrar que para cada par de subconjuntos $A$ y $B$ de $X$ hay uno y sólo un subconjunto $U$ de $X\times X$ tal que $T(A,B)=U$ Es decir, $((A,B),U) \in T$ .
Dada la definición de $T$ es bastante claro que esto es así, tomando $U=A\times B$ , ya que $((A,B),A\times B)\in T$ y si $((A,B),U)\in T$ entonces $U=A \times B$ .
Te dejaré que demuestres que $T$ es uno a uno (sencillo).
En cuanto a la entrada, te dejaré una pista: deja que $$\Delta_X = \{(x,x): x \in X\}.$$ Ciertamente, usted tiene $\Delta_X \in P(X\times X)$ . ¿Puedes encontrar $A,B\subseteq X$ tal que $A\times B=\Delta_X$ ?
