Encontrar una base para la que la representación de una forma bilineal es diagonal utilizando operaciones de fila y columna

Question

Encontrar una base de $\mathbb{R}^4$ para el que la representación de $$F(x,y) = x^T\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix} y$$ es diagonal, y escribe la matriz de $F$ con respecto a esta base (Utilice las operaciones de fila y columna).

Creo que convirtiendo la matriz en su forma cuadrática y utilizando la Ley de Inercia de Sylvester o completando el método del cuadrado, podemos encontrar la base mediante un proceso similar a la ortogonalización. Pero no tengo ni idea de cómo se puede encontrar la base mediante el uso de las operaciones de fila y columna. He visto algunas preguntas similares aquí, pero la mayoría de ellos se resuelven mediante el uso de los valores propios y ya que no sabemos ese tema todavía, es probable que haya un método de solución diferente. Cualquier pista o ayuda se agradecería. Gracias de antemano.

Answer 1

Veamos, resulta que el polinomio original, lo escribimos en variables $w,x,y,z,$ es una diferencia de cuadrados, lo que significa que también es el producto de dos formas lineales. Esto es lo suficientemente inusual (con todo entero) que apostaría que la pregunta fue construida usando la factorización.

$$(w+x+2y)^2 - (x+y+z)^2 = \; \; (w + 2x + 3y + z)(w+y-z)$$ Observe cómo el producto hace evidente la $3y^2,$ también $-z^2,$ pero cero $x^2$ términos.

$$P^T H P = D$$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ $$Q^T D Q = H$$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right)$$

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algoritmo: ver http://math.stackexchange.com/questions/1388421/reference-for-linear-algebra-books-that-teach-reverse-hermite-method-for-symmetr

$$H = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right)$$

$$D_0 = H$$ $$E_j^T D_{j-1} E_j = D_j$$ $$P_{j-1} E_j = P_j$$ $$E_j^{-1} Q_{j-1} = Q_j$$ $$P_j Q_j = I$$ $$P_j^T H P_j = D_j$$ $$Q_j^T D_j Q_j = H$$

$$H = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{1} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{1} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{1} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{1} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 2 & - 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{2} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{2} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{2} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{2} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{3} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{3} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{3} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{3} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ \end{array} \right)$$

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$$E_{4} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ $$P_{4} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; Q_{4} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \; \; \; D_{4} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

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$$P^T H P = D$$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ $$Q^T D Q = H$$ $$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ \end{array} \right)$$