Estoy tratando de demostrar algunas afirmaciones sobre la descomposición de valores singulares, pero no estoy seguro de cuál es la diferencia entre el valor singular y el valor propio.
¿El "valor singular" es simplemente otro nombre para el valor propio?
Los valores singulares de una matriz $M\times N$ $X$ son las raíces cuadradas de los autovalores de la matriz $N\times N$ $X^*\,X$ (donde $^*$ representa la matriz transpuesta-conjugada si tiene coeficientes complejos, o la transpuesta si tiene coeficientes reales).
Por lo tanto, si $X$ es una matriz real simétrica $N\times N$ con autovalores no negativos, entonces los autovalores y los valores singulares coinciden, ¡pero no es el caso generalmente!
¿Qué pasa en el caso en que X sea cuadrada pero no simétrica. ¿Los eigenvalores de X podrían ser negativos, verdad? ¿Y en ese caso, cómo definimos los valores singulares?
@matteo: No entiendo tu pregunta. Sea la matriz $X$ que elijas (cuadrada o no), la matriz $X^*X$ es Hermitiana (o simétrica si las entradas son reales) definida positiva, y la definición que proporcioné tiene sentido. Si $X$ es una matriz cuadrada con un eigenvalor negativo, entonces sus eigenvalores y valores singulares simplemente no son iguales.
Supongo que tienes razón, realmente no estaba pensando en el hecho de que simplemente son diferentes. Solo para asegurarme de una última cosa, ¿es $X^*X$ siempre hermitiano y definido positivo?
Dada una matriz $A$, si los valores propios de $A^HA$ son $\lambda_i \geq 0$, entonces $\sqrt{\lambda_i}$ son los valores singulares de $A$. Si $t$ es un valor propio de $A$, entonces $|t|$ es un valor singular de $A$. Y aquí hay un ejemplo que se debe tener en cuenta, $$A = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix},$$ los valores propios de $A$ son $1,1,0$ mientras que los valores singulares de $A$ son $\sqrt{3},1,0$.
Ese es un muy buen ejemplo. Otro ejemplo es $$\mathbf A = \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\0&0\end{array}\right).$$ Los valores propios son $1$ y $0$, los valores singulares son $\sqrt 2$ y $0$.
"Si $t$ es un eigenvalor de A, entonces $|t|$ es un valor singular de A" – esto no es cierto, aunque sí transmite parte de la intuición (admitidamente vaga, pero aún útil) de que los eigenvalores y los valores singulares son "del mismo tamaño".
@estocástico ¿Por qué no es cierto? ¿Qué está mal en este argumento: Sea $t$ un valor propio de $A$; entonces $\bar{t}$ es un valor propio de $A^*$ y por lo tanto $\bar{t}t=|t|^2$ es un valor propio de $A^*A$, por lo que $|t|$ es un valor singular de $A$.
¿Es el valor singular solo otro nombre para el valor propio?
No, los valores singulares y los valores propios son diferentes.
¿Cuál es la diferencia entre el Valor Singular y el Valor Propio?
Hay muchas respuestas posibles a esta pregunta. Dado que no sé qué estás tratando de demostrar, te recomendaría comparar cuidadosamente las definiciones entre los dos: descomposición de eigenvectores, descomposición de valores singulares
[EDICIÓN: Es posible que encuentres los primeros capítulos del libro "Numerical Linear Algebra" de Trefethen y Bau más útiles que el artículo de Wikipedia. Están disponibles aquí.]
Dos puntos importantes:
Observa en particular que la SVD está definida para cualquier matriz, mientras que la descomposición de valores propios está definida solo para matrices cuadradas (y más específicamente, matrices normales).
Observa que los valores singulares siempre son reales, mientras que los valores propios no necesariamente lo son.
@Hunle esto está muy mal. Una matriz normal es unitariamente similar a una matriz diagonal, mientras que una matriz diagonalizable es similar a una matriz diagonal (no necesariamente unitaria).
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Están de acuerdo en dimensiones finitas, pero no necesariamente para operadores de dimensionalidad infinita. He escuchado el término "valor singular" aplicado a cualquier valor para el cual $(A-\lambda I)^{-1}$ no existe o no es continuo, mientras que los autovalores se refieren solo a aquellos valores para los cuales $(A-\lambda I)^{-1}$ no existe.
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El valor singular es un escalar no negativo de una matriz cuadrada o rectangular, mientras que un eigenvalor es un escalar (cualquier escalar) de una matriz cuadrada.
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^ Tenga en cuenta que me refería específicamente a matrices cuadradas o, en el caso de dimensiones infinitas, endomorfismos.
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Mi suposición es que la pregunta se refiere a la descomposición en valores singulares para matrices de operadores de dimension finita.
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No son lo mismo en absoluto, y no tiene nada que ver con la dimensión. Solo coinciden en el caso especial donde la matriz es simétrica. Este acuerdo también se extiende (en un sentido) para operadores compactos de dimensión infinita.
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@AlexBecker ¿Quizás estás pensando en el espectro singular de un operador de dimensión infinita en su lugar? (un tema no relacionado)
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@AlexBecker: ¡LOS NO concuerdan en dimensiones finitas! Claramente no estás familiarizado con la descomposición en valores singulares. Todas las matrices reales tienen valores singulares, pero las matrices no cuadradas no tienen eigenvalues.
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Simplemente mira este video (youtube.com/watch?v=rYz83XPxiZo&t=48s) y lo entenderás.