Integrar $\int \sin^3(x)\sqrt{\cos(x)} dx$

Question

Traté de resolver $\int \sin^3(x)\sqrt{\cos(x)}\,dx$ poniéndolo igual a $$\int \cos^{1/2}(x)\left(1-\cos^2x\right)\sin(x)\,dx$$ y luego hacer $u=\cos(x)$ y $du=-\sin(x)$ . Terminé con $$\frac{-2\cos^{3/2}(x)}{3} + \frac{\cos^2(x)}{2} + C$$ pero la respuesta del libro es $$\frac{2\cos^{7/2}(x)}{7} + \frac{2\cos^{3/2}(x)}{3} + C$$

¿Podría dar una pista de lo que estoy haciendo mal? Aquí está mi trabajo completo.

Answer 1

$$\begin{align*} \int \sin^3 x \sqrt{\cos x} \, dx &= \int (1 - \cos^2 x) \cos^{1/2} x \sin x \, dx \\ &= \int (\cos^{1/2} x - \cos^{5/2} x) \sin x \, dx \\ &= \int -(u^{1/2} - u^{5/2}) \, du \\ &= \frac{2}{7} u^{7/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{7} \cos^{7/2} x - \frac{2}{3} \cos^{3/2} x + C. \end{align*}$$

Answer 2

Tenemos $$\int(u^{1/2}-u^{2+1/2})du=?$$

Answer 3

$\int \sin^3x \sqrt {\cos x}\;dx=\int (u^2-1)\sqrt u\;du$ donde $u=\cos x.$

Ahora $(u^2-1)\sqrt u\;=u^{5/2}-u^{1/2}$ . Parece que es aquí donde te equivocas. Se integra a $\frac {1}{1+5/2}u^{1+5/2}-\frac {1}{1+1/2}u^{1+1/2}.$