¿Cómo puedo demostrar $2^n > n^2$ por inducción utilizando una base $> 4$

Question

He estado intentando demostrar esta afirmación por inducción; sin embargo, al seguir los pasos que normalmente doy, acabo totalmente atascado. Sé que se me debe estar escapando algo, pero llevo un tiempo atascado en esto y no consigo resolverlo. ¿Alguien sabe cómo puedo llegar a una suma en el lado derecho de mis declaraciones de prueba? ¿Algún otro consejo sobre cómo encontrar esto?

Prueba $**2^n > n^2**$ por inducción utilizando una base > 4: Base: $**n = 5** **2^n > n^2**$ 32 > 25 Supongamos: $**2^n > n^2**$

Pruébalo: $**2^(n+1) > (n+1) ^2**$

$**2^{n+1} = 2^n * 2**$ LHS Prove = LHS Assume + Fix
$**2^{n+1} > (n^2) *2**$ Utilizar la suposición
$**2^{n+1} > 2(n^2)**$ Podría utilizar la suposición de nuevo...
$**2^{n+1} > 1(n^2)**$ no parece ayudar
$**2^{n+1} > (n * 1)^2**$ Básicamente, sólo $n^2$

Answer 1

Seguro que esta pregunta se ha hecho tantas veces aquí...

Como esta es tu primera pregunta sería un poco grosero si voto para cerrar esto..

Llegando a la pregunta :

Usted tiene $2^n>n^2$

Tienes que demostrar $2^{n+1}>(n+1)^2$

Por lo tanto, podría considerar (como lo hizo)

$2^{n+1}=2^n.2>2n^2$

Suponga que prueba $2n^2>(n+1)^2$ entonces has terminado

Supongo que sabes lo que es $(n+1)^2$ ¡¡!!

Compara $(n+1)^2$ (simplemente ampliándolo) con $2n^2$

Entonces, ¡ya está hecho!

Answer 2

Estás en el camino correcto. Bajo la hipótesis inductiva, has demostrado que $2^{n+1} > 2n^2$ .

Si pudieras demostrar que $2n^2 \ge (n+1)^2$ estarías acabado.

Esto equivale a $n^2 - 2n - 1 \ge 0$ o $(n-1)^2 \ge 1$ . Eso es definitivamente cierto.

Answer 3

También puede mostrarlo directamente sin utilizar la inducción.

Definir $f:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty)$ por $f(x)=x^{\frac1x}$ . Entonces es fácil calcular $f'(x)=x^{\frac1x-2}(1-\log x)$ para que $f$ es estrictamente decreciente para $x>e$ . Esto significa que $5^{\frac15}>n^{\frac1n}$ para $n=6,7,8,\ldots$ y como se puede calcular fácilmente $2^{\frac12}\approx 1.41 >1.38\approx 5^{\frac15}$ tenemos (para la integral $n\geq 5$ ) $$2^{\frac12}>n^{{\frac1n}}$$ $$\left(2^{\frac12}\right)^{2n}>\left(n^{{\frac1n}}\right)^{2n}$$ $$\boxed{2^n>n^2}$$ para la integral $n\geq 5$ como se desee.