Supongamos que $\sf{ZF}$ . Un conjunto $A$ es amorfo si es infinito y no la unión disjunta de dos conjuntos infinitos. La existencia de un conjunto amorfo es inconsistente con $\sf{ZFC}$ (incluso $\sf{ZF}+\sf{AC}_{\omega}$ ).
La declaración $P_{F}(\mathfrak{n},\mathfrak{m})$ donde $\mathfrak{n}$ y $\mathfrak{m}$ son cardinales se define como sigue:
Dejemos que $A_{i},i\in I$ sea una colección de conjuntos amorfos disjuntos por pares donde $|I|=\mathfrak{n}$ y que $A=\bigcup\limits_{i\in I}A_{i}$ . Entonces existen conjuntos no vacíos y disjuntos entre sí $B_{j},j\in J$ con $|J|=\mathfrak{m}$ tal que $A=\bigcup\limits_{j\in J}B_{j}$ .
Del mismo modo, la declaración $P_{I}(\mathfrak{n},\mathfrak{m})$ se define como
Dejemos que $A_{i},i\in I$ sea una colección de conjuntos amorfos disjuntos por pares donde $|I|=\mathfrak{n}$ y que $A=\bigcup\limits_{i\in I}A_{i}$ . Entonces existen conjuntos infinitos disjuntos por pares $B_{j},j\in J$ con $|J|=\mathfrak{m}$ tal que $A=\bigcup\limits_{j\in J}B_{j}$ .
Por último, la declaración $P_{A}(\mathfrak{n},\mathfrak{m})$ se define como
Dejemos que $A_{i},i\in I$ sea una colección de conjuntos amorfos disjuntos por pares donde $|I|=\mathfrak{n}$ y que $A=\bigcup\limits_{i\in I}A_{i}$ . Entonces existen conjuntos amorfos disjuntos por pares $B_{j},j\in J$ con $|J|=\mathfrak{m}$ tal que $A=\bigcup\limits_{j\in J}B_{j}$ .
Para lo cual $\mathfrak{n},\mathfrak{m}$ son $P_{F}(\mathfrak{n},\mathfrak{m})$ , $P_{I}(\mathfrak{n},\mathfrak{m})$ y $P_{A}(\mathfrak{n},\mathfrak{m})$ verdadero, falso e indecidible en $\sf{ZF}$ ?
