Toda función lineal a trozos puede escribirse como una suma

Question

Dejemos que $g$ sea una función lineal a trozos de valor real en algún intervalo $[a,b]$ tal que si dividimos $[a,b]$ en $k$ piezas, $g$ es lineal en cada pieza. Entonces, para algunos $d, a_1,...,a_k, c_1,...,c_k$ , $g(x)=d+\sum_{i}^{k} a_i|x-c_i|$ . ¿Cómo puedo justificar eso?

Answer 1

Una pista: Tenga en cuenta que la función $$x\mapsto\sum_{i=1}^ka_i|x-c_i| $$ es continua y (suponiendo que $a=c_1<c_2<\ldots <c_k=b$ ) es lineal en cada intervalo $[c_i,c_{i+1}]$ con pendiente $\sum_{i\le k}a_i-\sum_{i>k}a_i$ . Sea $m_i$ sean las pendientes de la función dada en $[c_i,c_{i+1}]$ . ¿Puede usted encontrar un $a_i$ ¿entonces? ¿Qué falta después?