El libro de PDE de Evan discute la ecuación de Poisson $-\Delta u= f$ donde $f\in C_c^2(U)$ como el Teorema 1.1. Con tal condición sobre $f$ podemos básicamente pasarle todas las diferenciaciones para demostrar que $u\in C^2$ . Sin embargo, si sólo exigimos que $f \in C_c^1(U)$ entonces parece que este método no funciona tan fácilmente. He intentado hacerlo por integración por partes, pero no parece funcionar.
Siguiendo a Evans, podemos obtener $u_{x_i}=\int_{\mathbb{R}}\Phi(y) f_{x_i}(x-y) dy$ igual que antes. Esto muestra $u$ es $C^1$ . Sin embargo, no podemos poner un segundo parcial en $f$ por lo que debemos pasar la derivada a $\Phi$ de alguna manera, pero aquí es donde estoy luchando ya que tenemos que evitar la explosión de $\Phi$ en $0$ .