4 votos

Ecuación de Poisson $-\Delta u= f$ donde $f\in C_c^1(U)$

El libro de PDE de Evan discute la ecuación de Poisson $-\Delta u= f$ donde $f\in C_c^2(U)$ como el Teorema 1.1. Con tal condición sobre $f$ podemos básicamente pasarle todas las diferenciaciones para demostrar que $u\in C^2$ . Sin embargo, si sólo exigimos que $f \in C_c^1(U)$ entonces parece que este método no funciona tan fácilmente. He intentado hacerlo por integración por partes, pero no parece funcionar.

Siguiendo a Evans, podemos obtener $u_{x_i}=\int_{\mathbb{R}}\Phi(y) f_{x_i}(x-y) dy$ igual que antes. Esto muestra $u$ es $C^1$ . Sin embargo, no podemos poner un segundo parcial en $f$ por lo que debemos pasar la derivada a $\Phi$ de alguna manera, pero aquí es donde estoy luchando ya que tenemos que evitar la explosión de $\Phi$ en $0$ .

2voto

tankonetoone Puntos 2314

Esta es una muy buena pregunta, y la solución es en realidad podría ser mucho más difícil de lo que usted espera. En realidad se podría incluso relajar la condición de $f$ sea acotada y localmente continua de Holder (con exponente $\alpha\leq 1$ ) y tendrá $u\in C^2(\Omega)$ et $\Delta u=f$ en $\Omega$ .

No voy a escribir la solución completa aquí, sino que sólo voy a referirme a donde podrías encontrarla. Por favor, mire el libro de Gilbarg & Trudinger , página 54-56, lema 4.1 y lema 4.2. No es una prueba corta.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X