Demostración del teorema de Wick

Question

Estoy abordando la demostración del teorema de Wick. Por inducción.
Supongamos que ya hemos demostrado $$ C_2 \cdots C_n = N(C_2 \cdots C_n + (\text{all possible contractions}) ) \quad (C_i=a\,\, \text{(annihilation) or }a^{\dagger}\text{(creation)} \,\, ) , $$ y multiplicar $C_1$ desde la izquierda. Entonces nos movemos $C_1$ dentro de $N()$ .
Aunque el cálculo real manipula todos los términos dentro de $N()$ Consideremos el término sin contracciones.
Si $C_1=a$ ,
\begin{alignat}{2} C_1 N(C_2 \cdots C_n) &=&& a (a^{\dagger} \cdots a^{\dagger} a \cdots a) \\ &=&& N(:C_1 C_2:C_3 \cdots C_n \, +\, C_2:C_1 C_3: \cdots C_n\,+ \cdots\cdots\,+\, C_2\cdots C_{n-1} :C_1 C_n: ) \\ &&&+ (a^{\dagger} \cdots a^{\dagger} a \cdots a)a \\ &=&& N( :C_1 C_2:C_3 \cdots C_n\, +\, C_2:C_1 C_3: \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+ C_2\cdots C_{n-1} :C_1 C_n:\,+\,C_1 \cdots C_n ) \end{alignat} no hay ningún problema.
Pero si $C_1=a^{\dagger}$ , \begin{alignat}{2} C_1 N(C_2 \cdots C_n) &=&& a^{\dagger} (a^{\dagger} \cdots a^{\dagger} a \cdots a) \\ &=&& N(:C_1 C_2:C_3 \cdots C_n \,+ \,C_2:C_1 C_3: \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+\, C_2\cdots C_{n-1} :C_1 C_n: ) \\ &&&+ (a^{\dagger} \cdots a^{\dagger} a \cdots a)a^{\dagger} \end{alignat} entonces el último término de la última línea no es igual a $N( C_1 \cdots C_n)$ . ¿Por qué?
Para tener una mejor idea, he calculado un ejemplo. Desde $$ a_2 a_3^{\dagger} = N(a_2 a_3^{\dagger} + :a_2 a_3^{\dagger}: ) , $$ (He añadido subíndices sólo para que sea comprensible. Así, por ejemplo $a_2^{\dagger}=a_3^{\dagger}$ .) Tengo \begin{alignat}{2} a_1^{\dagger} a_2 a_3^{\dagger} &=&& a_1^{\dagger} a_3^{\dagger}a_2 + a_1^{\dagger}:a_2 a_3^{\dagger}: \\ &=&& N(a_1^{\dagger} a_2 a_3^{\dagger} + a_2 : a_1^{\dagger} a_3^{\dagger}: + a_1^{\dagger}:a_2 a_3^{\dagger}: ) . \end{alignat} Pero según el teorema de Wick, la relación $$ a_1^{\dagger} a_2 a_3^{\dagger} = N(a_1^{\dagger} a_2 a_3^{\dagger} + : a_1^{\dagger} a_2: a_3^{\dagger} + a_2 : a_1^{\dagger} a_3^{\dagger}: + a_1^{\dagger}:a_2 a_3^{\dagger}: ) $$ debería aguantar. ¿Cómo es que el término $: a_1^{\dagger} a_2: a_3^{\dagger}$ ¿surgir?
Gracias.

Answer 1

Consideremos el caso en el que existe $h$ pares de $d_i, d_i^{\dagger}$ . $$d_1, \cdots , d_h ,d_1^{\dagger} \cdots d_h^{\dagger}$$ $$ [d_i, d_j^{\dagger}] = \delta_{ij}$$ En esta fórmula y en la inducción, los subíndices denotan la clase de operadores. En el ejemplo siguiente( $a_i$ ), no lo hacen. La definición de contracción es $$ <0|d_i d_j|0> =0,\, <0|d_i d_j^{\dagger}|0> = \delta_{ij}\, <0|d_i^{\dagger} d_j|0> =0\, <0|d_i^{\dagger} d_j^{\dagger}|0> =0. $$ Desde $$ C_2 \cdots C_n = N(C_2 \cdots C_n + (\text{all possible contractions}) ) \quad (C_i=d_j\,\, \text{(annihilation) or }d_j^{\dagger}\text{(creation)} \,\, ) , $$ Si $C_1=d_i$ , utilizando $$d_i d_j^{\dagger} = [d_i, d_j^{\dagger}] + d_j^{\dagger}d_i = <0|d_i d_j^{\dagger}]|0> + d_j^{\dagger}d_i $$ $$d_i d_j = <0|d_i d_j|0> + d_j d_i $$ nos movemos $C_1$ dentro de $N()$ .
\begin{alignat}{2} C_1 N(C_2 \cdots C_n) &=&& d_i (d_j^{\dagger} \cdots d_k^{\dagger} d_l \cdots d_m) \\ &=&& N(<0|C_1 C_2|0>C_3 \cdots C_n \, +\, C_2<0|C_1 C_3|0> \cdots C_n\,+ \cdots\cdots\,+\, C_2\cdots C_{n-1} <0|C_1 C_n|0> ) \\ &&&+ (d_j^{\dagger} \cdots d_k^{\dagger} d_l \cdots d_m)d_i \\ &=&& N( <0|C_1 C_2|0>C_3 \cdots C_n\, +\, C_2<0|C_1 C_3|0> \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+ C_2\cdots C_{n-1} <0|C_1 C_n|0>\,\,\\ &&& +C_1 \cdots C_n ) \end{alignat} El número de $d\,\text{or}\,d^{\dagger}$ puede ser cero.
Si $C_1=d_i^{\dagger}$ por el hecho de que $$ <0|d_i^{\dagger} d_j^{\dagger}|0>=0 , \quad <0|d_i^{\dagger} d_j|0>=0 , $$ no hay necesidad de moverse $C_1$ a la derecha.
\begin{alignat}{2} C_1 N(C_2 \cdots C_n) &=&& d_i^{\dagger} (d_j^{\dagger} \cdots d_k^{\dagger} d_l \cdots d_m) \\ &=&& N(<0|C_1 C_2|0>C_3 \cdots C_n \,+ \,C_2<0|C_1 C_3|0> \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+\, C_2\cdots C_{n-1} <0|C_1 C_n|0> ) \\ &&&+ d_i^{\dagger} (d_j^{\dagger} \cdots d_k^{\dagger} d_l \cdots d_m) \\ &=&& N( <0|C_1 C_2|0>C_3 \cdots C_n\, +\, C_2<0|C_1 C_3|0> \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+ C_2\cdots C_{n-1} <0|C_1 C_n|0>\, \\ &&&+\,C_1 \cdots C_n ) \end{alignat} El número de $d\,\text{or}\,d^{\dagger}$ puede ser cero.
Para los términos en los que se contrata $C_j$ el cálculo se realiza de la misma manera, ya que una contracción es sólo una constante multiplicativa.
El paso de inducción se ha realizado con éxito.

Cuando $C_i$ son superposiciones lineales de $d_j,\,d_j^{\dagger}$ es decir $$ C_1=\sum_{j_1} \alpha_{j_1}C_{1j_1},\, C_2=\sum_{j_2} \alpha_{j_2}C_{2j_2}, \cdots C_n=\sum_{j_n} \alpha_{j_n}C_{nj_n} $$ Donde $C_{ij_i}$ es $d_k\,\text{or}\,d_k^{\dagger}$ .
Sustituir $ C_1\, ,\to \, C_{1j_1} \quad C_i\, \to \, \alpha_{j_i}C_{ij_i}(i\ge2)$ en la prueba anterior.
La prueba de \begin{alignat}{2} C_{1j_1} N(C_2 \cdots C_n) &=&& N( <0|C_{1 j_1} C_2|0>C_3 \cdots C_n\, +\, C_2<0|C_{1 j_1} C_3|0> \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+ C_2\cdots C_{n-1} <0|C_{1j_1} C_n|0>\, \\ &&&+\,C_{1j_1} \cdots C_n ). \end{alignat} se mantiene tal cual para cada $ C_{1j_1}=d_i,\, C_{1j_1}=d_i^{\dagger} $ . A continuación, multiplique por $\alpha_{i_1}$ y operar $\displaystyle \sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n}$ . También obtendremos \begin{alignat}{2} C_1 N(C_2 \cdots C_n) &=&& N( <0|C_1 C_2|0>C_3 \cdots C_n\, +\, C_2<0|C_1 C_3|0> \cdots C_n \,+\cdots\cdots\,+ C_2\cdots C_{n-1} <0|C_1 C_n|0>\, \\ &&&+\,C_1 \cdots C_n ). \end{alignat}

Y en el ejemplo, una contracción no es una relación de conmutación. $$ a_2 a_3^{\dagger} = N(a_2 a_3^{\dagger} + <0|a_2 a_3^{\dagger}|0> ) $$ es obviamente correcto. Y como $ <0|a_1^{\dagger} a_2|0> = <0| a_1^{\dagger} a_3^{\dagger}|0>=0,$ $$ a_1^{\dagger} a_2 a_3^{\dagger} = N(a_1^{\dagger} a_2 a_3^{\dagger} + <0|a_1^{\dagger} a_2|0> a_3^{\dagger} + a_2 <0| a_1^{\dagger} a_3^{\dagger}|0> + a_1^{\dagger} <0|a_2 a_3^{\dagger}|0> ) $$ se mantiene como dice el teorema de Wick.