Pregunta en la demostración del teorema de descomposición de Hodge

Question

Estoy leyendo este conjunto de notas sobre la teoría de Hodge:

https://math.unice.fr/~hoering/hodge/hodge.pdf

En particular, la prueba de 4.2.6, en la que el autor demuestra la descomposición de Hodge para una variedad hermitiana compacta.

El autor escribió que $\bar{\partial}(C^{\infty}(X,\Omega^{p,q-1}))=\bar{\partial}\bar{\partial^*}(C^{\infty}(X,\Omega^{p,q}))$

y esto se debe a que el hecho de que $\bar{\partial^2}=0$ y que una forma $\alpha$ es $\bar{\partial}$ -armónico si $\bar{\partial}\alpha=0$ et $\bar{\partial^*}\alpha=0$ .

La inclusión $ \bar{\partial}\bar{\partial^*}(C^{\infty}(X,\Omega^{p,q}))\subset\bar{\partial}(C^{\infty}(X,\Omega^{p,q-1}))$ está claro para mí, sin embargo, no veo cómo los dos hechos mencionados anteriormente ayudan a demostrar la igualdad.

Answer 1

Como se indica en la prueba, tenemos

$$C^{\infty}(X, \Omega^{p,q-1}) = \mathcal{H}^{p,q-1}(X)\oplus\Delta_{\bar{\partial}}(C^{\infty}(X, \Omega^{p,q-1})).$$

Si $\alpha \in C^{\infty}(X, \Omega^{p,q-1})$ hay formas $\beta \in \mathcal{H}^{p,q-1}(X)$ et $\gamma \in C^{\infty}(X, \Omega^{p,q-1})$ tal que

$$\alpha = \beta + \Delta_{\bar{\partial}}\gamma = \beta + \bar{\partial}\bar{\partial}^*\gamma + \bar{\partial}^*\bar{\partial}\gamma.$$

Ahora

$$\bar{\partial}\alpha = \bar{\partial}\beta + \bar{\partial}\bar{\partial}\bar{\partial}^*\gamma + \bar{\partial}\bar{\partial}^*\bar{\partial}\gamma.$$

Tenga en cuenta que $\bar{\partial}\beta = 0$ como $\beta$ es $\bar{\partial}$ -armónica y $\bar{\partial}\bar{\partial}\bar{\partial}^*\gamma = 0$ como $\bar{\partial}^2 = 0$ . Por lo tanto, tenemos $\bar{\partial}\alpha = \bar{\partial}\bar{\partial}^*(\bar{\partial}\gamma)$ . Es decir, cualquier cosa a imagen y semejanza de $\bar{\partial}$ está en realidad en la imagen de $\bar{\partial}\bar{\partial}^*$ Así que $\bar{\partial}C^{\infty}(X, \Omega^{p,q-1}) \subseteq \bar{\partial}\bar{\partial}^*C^{\infty}(X, \Omega^{p,q})$ .