$a, b, c, d$ son enteros positivos， $a-c|a b+c d$ y luego $a-c|a d+b c$

Question

$a, b, c, d$ son enteros positivos $a-c|a b+c d$ y luego $a-c|a d+b c$

prueba: muy fácil de usar $a b+c d-(a d+b c)$

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sin embargo mi primer pensamiento es, $a-c| a b+c d+k(a-c)$ y establecer algunos $k$ para probar, fracasó.

pregunta1 ¿se puede hacer este método? ¿algún otro método?

pregunta2 : And ¿hay alguna relación entre la pregunta y el determinante/matriz

$$\begin{array}{cc} a & d \\-c & b \end{array}$$

Answer 1

SUGERENCIA:

$$ab+cd-(ad+bc)=b(a-c)-d(a-c)=(a-c)(b-d)$$

Alternativamente, $$ab+cd=b(a-c)+bc-(a-c)d+ad=(a-c)(b-d)+ad+bc$$ estamos llegando al mismo punto

Answer 2

Como el laboratorio le dio la $k$ que funciona para la pregunta 1, aquí está la respuesta a la pregunta 2:

$$\det \begin{pmatrix} a & d \\-c& b \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a & b \\-c & d \end{pmatrix}+\det \begin{pmatrix} a & d-b \\-c & b-d \end{pmatrix}$$ $$ = \det \begin{pmatrix} a & b \\-c & d \end{pmatrix}+(b-d)\det \begin{pmatrix} a & -1 \\-c & 1\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a & b \\-c & d \end{pmatrix}+(b-d)\det \begin{pmatrix} a+c & 0 \\-c & 1\end{pmatrix} $$

Aunque las soluciones son bastante artificiales...