Segunda ley de Newton, gravedad y flotabilidad

Question

Un cuerpo de masa $m$ y el volumen $V$ se sumerge en el mar. El cuerpo se mueve bajo la acción de dos fuerzas: la gravedad y la flotabilidad (Arquímedes).

La fuerza de gravedad tiene una magnitud $mg$ , donde $g$ es una aceleración constante debida a la gravedad. La fuerza de flotación tiene una magnitud $\rho V g$ , donde $\rho$ es la densidad del agua, y actúa en la dirección opuesta a la fuerza de gravedad.

Parte 1.

Supongamos que la densidad del agua es una constante, $\rho V >m$ siempre se mantiene, y en el momento inicial el cuerpo se libera del reposo a la profundidad de $h>0$ metros bajo la superficie del mar. Supongamos que el origen está en la superficie del mar y la dirección positiva del movimiento es hacia el centro de la Tierra.

(a) Completa el diagrama mostrando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y el desplazamiento inicial del mismo.

(b) Escribe la segunda ley del movimiento de Newton. Resuelve esta ecuación, es decir, escribe las expresiones de la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo.

(c) Demuestre que el cuerpo se moverá hacia la superficie del mar, y que cuando llega a la superficie tiene la velocidad $v= -\sqrt{\frac{2gh(\rho V-m)}{m}}$ .

1a) Puedo hacer

1b) Sé que la segunda ley de Newton es $mx=F$ con $F$ siendo las fuerzas. He escrito la fórmula como $mx=\rho Vg - mg$ pero no estoy seguro de que esto sea correcto. Entonces he dividido ambos lados por $m$ para conseguir $x$ por sí sola e integrada con respecto a t (tiempo) para obtener $x$ en función del tiempo. Dando $x=-gt+\frac{\rho Vgt}{m} + c$

1c) No estoy seguro de dónde está el $h$ ha venido, o cómo podría introducirlo en mi ecuación anterior

Answer 1

1b) fibontic ha señalado correctamente que tu expresión de la 2ª ley de Newton no es correcta. Debería ser $$ma=F_\text{net}.$$ Usted tiene un $x$ en lugar de un $a,$ que está causando uno de sus problemas en la parte b.

Al escribir $ma=\rho Vg-mg,$ debes tener en cuenta que ya has impuesto implícitamente un sistema de coordenadas en el que up es positivo. Esto es probablemente muy conveniente para este problema, pero es bueno ser consciente de estas cosas, ya que jugará un papel en las partes b y c.

Si quieres usar esto para resolver las ecuaciones del movimiento, primero resuelve la ecuación de la 2ª ley de Newton para la aceleración $a$ y nótese que es constante; no depende del tiempo. Para el caso de la aceleración constante, es probable que hayas tenido algunas expresiones cinemáticas previamente en tu curso de física, tales como $\Delta v = a\Delta t,$ por nombrar sólo uno. Estas son las ecuaciones cinemáticas para este caso, ya que la aceleración es constante. La parte más difícil de esto será tener cuidado con la posición inicial; usa tu sistema de coordenadas y elige donde la posición vertical es cero.

1c) Una forma de ver que tu expresión era incorrecta es el análisis unitario: determina la dimensión de cada término (p. ej, $x$ et $gt$ ) y observe que no son todos iguales. No es legal añadir cosas con diferentes unidades.

Para demostrar que el objeto se moverá hacia arriba cuando se libere del reposo, puedes demostrar que la fuerza hacia arriba es mayor que la fuerza hacia abajo (ya que esto haría que el objeto se acelerara hacia arriba). En una de las inecuaciones se te ha dado suficiente información para resolver esto.

El $h$ ha venido de utilizar una ecuación cinemática conveniente y resolver la velocidad de la partícula después de que se haya movido una distancia $h$ hacia arriba; asegúrate de que has tenido cuidado al establecer tu sistema de coordenadas para obtener la respuesta correcta.