Resolver otra ecuación de Bessel por sustitución

Question

Para una clase de resolución de problemas necesito encontrar la solución general de la EDO $x^2y''+(\frac{3}{16}+x)y=0$ en términos de $J_{\nu}$ y $J_{-\nu}$ Si es posible. $\nu$ representa el parámetro de Bessel.

Se da una pista, a saber, que las sustituciones útiles serían $y=2u \sqrt{x}$ y $\sqrt{x}=z$ esto debería llevar a que la EDO se reduzca a una ecuación de Bessel. Sustituyendo este valor y aplicando la regla de la cadena se obtiene la EDO $z^2u''+zu'+(4z^2-(\frac{1}{4})^2)u=0$ que casi tiene la forma de una ecuación de Bessel con $\nu=\frac{1}{4}$ aparte del coeficiente 4 delante del $z^2$ en el $u$ coeficiente.

¿Cuál es la forma adecuada de resolver esta EDO por reducción a una ecuación de Bessel?
¿Se puede hacer esto?

Answer 1

Lo que sucede es que usted obtendrá $J_{1/4}(2z)$ y $Y_{1/4}(2z)$ . Para ver esto, intente poner $s=2z$ y $v(s)=u(z)$ . Los términos con derivados se comportarán muy bien: $$ zu'(z)=sv'(s)\quad\text{and}\quad z^2u''(z)=s^2v''(s). $$ ¿Estás seguro de la ecuación diferencial original? Da soluciones más sencillas, como menciona Jack.

Actualización

Su ecuación diferencial original se transforma en $$ z^2u''(z)+zu'(z)+(4z^2-(1/2)^2)u(z)=0. $$ Tenga en cuenta la $(1/2)^2$ y no $(1/4)^2$ .

La misma idea que antes da $J_{1/2}(2z)$ y $Y_{1/2}(2z)$ . Ahora, estas funciones se pueden simplificar en cosenos y senos con algunas raíces cuadradas de $x$ y así sucesivamente.

Answer 2

Al establecer $$ y(x) = x^{1/4}\, f(\sqrt{x}) $$ la EDO original se reduce a la ecuación diferencial ordinaria: $$ f''(x) + 4\,f(x) = 0. $$

Answer 3

El comentario anterior responde a tu pregunta, llevando la cuenta de las expansiones \begin{gather*} \cos z = J_0(z)-2J_2(z)+2J_4(z)-\cdots;\\ \sin z= 2J_1(z)-2J_3(z)+\cdots. \end{gather*}