En su documento seminal de 1979 aquí , Kazhdan y Lusztig estudiaron un grupo Coxeter arbitrario $(W,S)$ y el correspondiente álgebra de Iwahori-Hecke. En particular, mostraron cómo pasar de una base estándar de esta álgebra a una base más canónica, con el cambio de coeficientes de base que implican polinomios indexados por pares de elementos de $W$ (en el orden de Bruhat) sobre $\mathbb{Z}$ . Aunque la evidencia en ese momento era bastante limitada, conjeturaron tras el enunciado de su Teorema 1.1 que los coeficientes de estos polinomios deberían ser siempre no negativos. (En casos muy especiales esto es cierto porque los coeficientes dan las dimensiones de ciertos grupos de cohomología).
Varias décadas después, Wolfgang Soergel elaboró una estrategia coherente para demostrar la conjetura de no negatividad, en su artículo Polinomios de Kazhdan-Lusztig y bimódulos indecomponibles sobre anillos de polinomios. J. Inst. Math. Jussieu 6 (2007), no. 3, 501-525. Esto está publicado en el arXiv aquí . Ahora que su programa parece haberse completado, es natural renovar la pregunta en el encabezado:
¿Qué implicaciones tendría la no negatividad de los coeficientes de polinomios de Kazhdan-Lusztig arbitrarios?
Hay que destacar que en la formulación de Soergel y en los trabajos siguientes, la no negatividad no es en sí misma el objetivo principal. En su lugar, el marco combinatorio propuesto pretendía proporcionar un entorno conceptual más autocontenido para la demostración de la conjetura original de Kazhdan-Lusztig sobre las multiplicidades del módulo de Verma para un álgebra de Lie semisimple (pronto un teorema) y otros teoremas de la teoría de la representación de carácter similar. Pero los grupos de Coxeter forman una amplia clase general de grupos dados por generadores y relaciones, por lo que es sorprendente encontrar restricciones tan fuertes en los polinomios que se dan en esta generalidad.
AÑADIDO: Hay un cierto solapamiento con preguntas anteriores relacionadas con el enfoque de Soergel, publicadas aquí y aquí .
ACTUALIZACIÓN: Se me ha señalado que un trabajo más antiguo de Jim Carrell y Dale Peterson implica la condición de no negatividad, aunque su objetivo principal es el estudio de las singularidades de las variedades de Schubert en casos clásicos. Véase el breve relato (con un título largo) de J.B. Carrell, El gráfico de Bruhat de un grupo de Coxeter, una conjetura de Deodhar y la suavidad racional de las variedades de Schubert. Algebraic groups and their generalizations: classical methods (University Park, PA, 1991), 53-61, Proc. Sympos. Pure Math., 56, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994. La primera sección desarrolla para un grupo Coxeter arbitrario algunas consecuencias de la no negatividad de los coeficientes de Kazhdan-Lusztig para el estudio combinatorio de los intervalos de Bruhat. (Para más detalles sobre la geometría, véase el artículo de 2003 de Carrell y Kuttler en Invent. Math. 151.)
Todavía no estoy seguro de que esas consecuencias de la conjetura K-L de 1979 sean suficientes para que la conjetura sea en sí misma "importante". Pero sin duda ha sido un reto abordarla.
