Atascado en esto - En el triángulo rectángulo ABC AC= $2+\sqrt{3}$ y BC = $3+2\sqrt{3}$ . la circunferencia toca los puntos C y D, Hallar el Área de $AMD$

Question

En el triángulo rectángulo ABC $AC= 2+\sqrt{3}$ y $BC = 3+2\sqrt{3}$ . la circunferencia toca los puntos C y D, Hallar el Área de $AMD$

Esta es mi estrategia para resolver esto, no estoy seguro de que sea correcta, si encuentras mi explicación difícil de entender puedes ignorarla y escribir la solución a tu manera, gracias.

1. primera área del triángulo principal, conocemos AC y CB por lo que será fácil calcularla,

2. para encontrar el radio, reflejaremos el triángulo ABC en el lado izquierdo del círculo, convirtiéndolo en círculo inscrito en triángulo isósceles, y lo encontraremos con la fórmula

3. para encontrar el área de $AMD$ Voy a restar el área del sector $OMD$ , triángulo $OAD$ y el triángulo $CDB$ del triángulo $AMD$ ,

4. $DBC$ es un triángulo isósceles, por lo que $CB=DB$ Entonces, para encontrar el área, lo dividí en 2 triángulos rectángulos (se convierte en un triángulo 90 30 60) y encontré su altura. Así tenemos el área de $DBC$

5. Ahora, de forma similar $OAD$ es isósceles, $OD=OC=radius$ del círculo que "encontramos" también, dividir esto en 2 para obtener triángulos rectos y luego calcular con el teorema de Pitágoras para encontrar la altura por lo que obtenemos Área de $OMD$ también, ¿podríamos encontrar ángulos con la trigonometría? No lo sé, y si obtenemos el ángulo de $DOA$ podríamos encontrar el sector $OMD$ y lo restamos al triángulo principal para obtener el área de $AMD$ .

Answer 1

La zona $T$ en cuestión se puede encontrar como la diferencia entre el área de $\triangle AID$ y un segmento circular $IDM$ : \begin{align} T&= \tfrac12\,|AI|\cdot|DI|\sin\angle DIA - \frac12\angle DIA\cdot|DI|^2 , \end{align}

donde $\angle DIA$ se mide en radianes.

Para usar la ruta estándar para encontrar el radio considerar este círculo como inscrito en un isósceles $\triangle AFB$ para lo cual

\begin{align} |AC|& = 2+\sqrt3 ,\\ |BC|& = 3+2\sqrt3 ,\\ |AB| &=\sqrt{|AC|^2+|BC|^2} \\ &=\sqrt{28+16\sqrt3}=4+2\sqrt3 ,\\ |FB|&=2|BC|=6+4\sqrt3 ,\\ S_{\triangle AFB}&=|AC|\cdot|BC| =12+7\,\sqrt3 ,\\ \rho&=\tfrac12(2|AB|+|FB|) =|AB|+|BC|=7+4\sqrt3 , \end{align}

\begin{align} r&=|DI|=|MI|=|EI| \\ r &=\frac{S_{\triangle AFB}}{\rho} =\frac{12+7\sqrt3}{7+4\sqrt3} = \frac{(12+7\sqrt3)(7-4\sqrt3)}{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)} \\ &=\sqrt3 ,\\ \end{align}

por lo tanto, \begin{align} |AI|&=|AC|-|CI|=2 ,\\ \cos\angle DIA&=\frac{|DI|}{|AI|}=\frac{\sqrt3}2 ,\\ \angle DIA&=\frac \pi 6 , \end{align}

y la respuesta es

\begin{align} T&=\tfrac12\cdot2\cdot\sqrt3\cdot\tfrac12 -\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{6}\cdot(\sqrt3)^2 \\ &=\tfrac14(2\sqrt3-\pi) \approx 0.08062724 . \end{align}

Answer 2

Claramente, $\angle CAB = 60$ porque $BC = 3+2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot AC$ . Ahora, necesitamos encontrar las longitudes $AM$ y $AD$ . Sea $r$ sea el radio del círculo. Está claro que $OC = r$ y $AO = \sqrt{3}r$ por el triángulo 30-60-90 $AOD$ , como $OD$ es una tangente a $AB$ . Por lo tanto, $r (1 + \sqrt{3}) = AC = 2 + \sqrt{3} \implies r = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$ .

Ahora, calculamos el área. Obsérvese que $AM = AO - MO = (\sqrt{3}-1)r$ y $AD = \frac{\sqrt{3}}{3}r$ , por lo que tenemos que $[AMD] = AM \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = (\sqrt{3}-1)(\frac{\sqrt{3}}{3})(\frac{\sqrt{3}}{4})r^2 = \frac{1+\sqrt{3}}{8}$ .

Answer 3

$$\measuredangle B=\arctan\frac{2+\sqrt3}{3+2\sqrt3}=\arctan\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3(2+\sqrt3)}=\arctan\frac{1}{\sqrt3}=30^{\circ}.$$

Así, $$OC=(3+2\sqrt3)\tan15^{\circ}=(3+2\sqrt3)(2-\sqrt3)=\sqrt3(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=\sqrt3$$ y $$\measuredangle AOD=30^{\circ}.$$ ¿Puedes terminar ahora?

Answer 4

Encontré esta solución que me parece la más sencilla:

• $BC = 3 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}AC$ ;
• $BD = BC$ ;
• $AB = 2AC$ ;
• $AD = 1$ ;
• $OD = \sqrt{3}$ ; (tg(<ABC) = AC/BC = AD/OD)
• $S_{ADO} = \sqrt{3}/2$ (por AD y OD)
• $S_{MOD} = pi/4;$
• $S_{AMD} = \sqrt{3}/2 - pi/4;$

p.d. estoy seguro de que podría haber una solución mejor usando integrales y (o) derivadas de funciones, pero eso no es mío