¿Existen soluciones analíticas para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, o la ecuación es demasiado no lineal para resolverla de forma no numérica?
Específicamente - ¿existen soluciones a la función de onda de Schrödinger dependiente del tiempo para un paso potencial infinito, tanto en los casos dependientes como inpendientes del tiempo?
He buscado, pero todo el mundo parece centrarse en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
La solución completa para la ecuación dependiente del tiempo con un paso de potencial infinito se encuentra por el método de las imágenes. Dada cualquier función de onda inicial
$$ \psi_0(x) $$
para x<0, se escribe la extensión antisimétrica de la función de onda
$$ \psi_0(x) = \psi_0(x) - \psi_0(-x) $$
Y resuelves la ecuación de Schrodinger libre. Así que cualquier solución de la ecuación de Schrodinger libre da una solución para el paso de potencial infinito. Esto no es completamente trivial, porque las soluciones no desaparecen en ninguna región. Pero, por ejemplo, la función delta de propagación
$$ \psi(x,t) = {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-(x-x_0)^2\over it } $$
Se convierte en la función delta de propagación y reflexión
$$ \psi(x,t) = {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-(x-x_0)^2\over it } - {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-(x+x_0)^2\over it } $$
Se puede hacer lo mismo con el paquete de ondas gaussiano de propagación, sólo hay que restar la solución trasladada a +x de la solución trasladada a -x. En este caso, normalizar la función de onda es difícil cuando la función de onda comienza cerca de la pared de reflexión.
La solución al problema independiente del tiempo de la pared de potencial infinito son todas las funciones de onda de la forma
$$ \sin(kx) $$
para todo k>0. Superponiendo estas soluciones se obtienen todas las funciones antisimétricas en la recta real.
Para encontrar esta solución, observe que el problema independiente del tiempo (problema de valores propios) para la ecuación de Schrodinger se resuelve mediante ondas sinusoidales de la forma $e^{ikx}$ y hay que superponerlas para que sean cero en el origen, para obedecer la condición de reflexión. Para ello hay que sumar dos ondas k con signos opuestos de k y coeficientes de signos opuestos.
El signo opuesto de k sólo significa que la onda rebota en la pared (por lo que k cambia de signo), mientras que el signo opuesto del coeficiente significa que la fase es opuesta en la reflexión, por lo que la onda en la pared se cancela.
El problema dependiente del tiempo para un potnecial independiente del tiempo no es más que la suma de las soluciones del problema independiente del tiempo con coeficientes que varían en el tiempo sinusoidalmente.
Si las funciones propias $\psi_n$ son conocidos, y sus energías $E_n$ son conocidos, y el potencial no cambia en el tiempo, entonces el,
$$ \psi(t) = \sum_n C_n e^{-iE_n t} \psi_n(x) $$
es la solución general del problema dependiente del tiempo. Esto es tan conocido que generalmente la gente no se molesta en decir que ha resuelto el problema dependiente del tiempo una vez que ha resuelto el problema de valores propios.
La solución general de la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo para los potenciales dependientes del tiempo no se reduce a un problema de valores propios, por lo que es un tipo de cosa diferente. esto es generalmente lo que la gente entiende cuando se dice resolver la ecuación dependiente del tiempo, y esto refleja las otras respuestas que estás recibiendo. No creo que esta fuera la intención de tu pregunta, sólo querías saber cómo resolver la ecuación dependiente del tiempo para un potencial independiente del tiempo, en particular, para una pared de potencial reflectante infinita. Esto es sólo la solución de rebote descrita anteriormente.
La ecuación se puede resolver analíticamente si se permite que el potencial varíe en magnitud pero se mantienen fijos los límites. Entonces, se puede asumir la forma $\sum_{n} A_{n}(t) \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)$ para la función de onda.
Sustituyendo esta forma de la función de onda en $\frac{\hbar}{i}\frac{d\psi}{dt}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(t)\psi$ resultados en:
$$0=\sum_{n} \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)\left[ \frac{\hbar \dot A_{n}}{i} - \frac{\hbar^{2}A_{n}\pi^{2}n^{2}}{2mL} +V A_{n} \right]$$
Como cada término del seno tiene nodos y antinodos independientes, cada uno de los factores adjuntos debe ser independientemente cero. La solución se integra a:
$$A_{n}=a_{n}\exp\left(\frac{\pi^{2}\hbar n^{2} i t}{2mL^{2}}\right)\exp\left(\frac{i}{\hbar}\int V(t) dt\right)$$
Donde el $a_{n}$ son constantes. Nótese que esto difiere de la solución estándar del pozo cuadrado infinito sólo por el segundo factor que implica la integral de la energía potencial. Además, nótese que no hay nada que dependa de $n$ en este término, por lo que esta solución puede sacarse de la suma por completo, y así simplemente se multiplica la antigua función de onda por una fase global, y se genera una función de onda físicamente idéntica a nuestra antigua, constante $V(t)$ solución.
Estoy casi seguro de que existen soluciones anléticas exactas para soluciones menos triviales, pero variar el potencial en el pozo cuadrado infinito no hace mucho, al final.
De hecho, las soluciones analíticas de la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo son raras, mucho más raras que las de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.
Un paradigma es el oscilador armónico dependiente del tiempo. Entonces tienes el problema de Landau-Zener-Stueckelberg, el problema de Demkov-Osherov.
Otro caso que recuerdo es el problema de Stey-Gibberd, que se introduce pedagógicamente en el papel . Este modelo es sencillo y bello, pero desgraciadamente poco conocido.
Un modelo artificial (tipo Luttinger) realizable en el modelo unidimensional de ligadura estrecha es también exactamente resoluble.
Pero en general, la lista es corta .
El universo tiene sentido del humor, así que no me resisto a complementar una pregunta
que tiene la palabra "analítica" en su título... en un minuto, verás por qué hubiera preferido que usaras la frase "de forma cerrada", con la siguiente observación-respuesta.
Para cualquier potencial independiente del tiempo $V(x)$ , dejemos que $H = -{\partial^2\over\partial x^2} + V(x)$ . (Lo que voy a decir sirve para cualquier tiempo independiente $H$ y si un sistema está aislado, el hamiltoniano es siempre independiente del tiempo aunque la ecuación de Schroedinger dependa del tiempo). Supongamos que el sistema comienza en el estado inicial $\psi_o$ una función de onda de $x$ por supuesto. Entonces la siguiente función analítica del tiempo da la solución a la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo:
$$\psi(x,t) = e^{itH}\cdot\psi_o.$$
Esto es similar a la última fórmula dada por el Sr. Maimon que te decía, como él explicaba, cómo obtener la solución de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo una vez que has resuelto la ecuación independiente del tiempo para todos sus valores y estados propios. La diferencia es que en esa fórmula $E$ era uno de los muchos valores propios del operador $H$ pero en este caso podemos simplemente introducir $H$ como operador en la función holomorfa (analítica) $e^z$ (una forma es utilizar la serie de potencias de esta función analítica).
De ahí el juego de palabras de los universos entre analítica como sinónimo de expresión de forma cerrada pero también como sinónimo de holomorfo lo que significa que puede expresarse como una serie de potencias convergentes y extenderse como una función a todo el plano de números complejos, lo que se hace en algunas aproximaciones a la Teoría Cuántica de Campos, por ejemplo, por Streater y Wightman, y en algunas aproximaciones a las integrales de trayectoria.
Este enfoque es menos práctico para su situación específica que la respuesta del Sr. Maimon, que está bien adaptada a su problema específico... pero da una fórmula de forma cerrada, que se generaliza bien incluso a los potenciales $V$ con singularidades, infinitos, etc., y a veces puede ayudarte a pensar en la física del problema sin perderte en los detalles escabrosos del cálculo de la respuesta.
A menudo me he preguntado si se puede extender a los potenciales que varían en el tiempo... Sospecho que podría ser...
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