Dejemos que $\langle x, y \rangle_{A_k} :=x^{t}A_{k}y$ para todos $x,y \in \mathbb{R}^{3}$ con $ A_{k} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & k & 0 \\ k & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{array}\right),k \in \mathbb{R}^{3}.$
Para lo cual $k \in \mathbb{R}$ es el espacio vectorial $(\mathbb{R}^3, \langle , \rangle_{A_k})$ ¿un espacio euclidiano?
No estaba muy seguro de lo que querían que probara aquí... Por un espacio vectorial euclidiano todo lo que entiendo es un par $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ formado por un espacio vectorial real y un producto escalar $\langle \cdot, \cdot \rangle$ en $V$ .
¿Significa esto que la tarea en cuestión es examinar $\langle x, y \rangle_{A_k}$ y ver para qué $k$ ¿será realmente un producto escalar? Esto implica demostrar (i) la bilinealidad, (ii) la simetría, y (iii) la definición positiva?
No he encontrado antes productos escalares con una matriz, ¿es seguro decir que un producto escalar de la forma $x^{t}Ay$ es simétrico $\Leftrightarrow A$ ¿es simétrico? Si es así, entonces (ii) ya está resuelto...
No sé realmente qué debería hacerse para (i)...
Para (iii) creo que hay algún teorema... ¿Cómo se llaman los menores a lo largo de la diagonal? Creo que: todos los menores a lo largo de la diagonal tienen determinantes positivos $\Rightarrow A$ es positiva definida... ¿También se cumple siempre lo contrario? ¿Y con los valores propios? Todos los valores propios son positivos $\Leftrightarrow A$ es positiva definida, ¿verdad?
En este caso he intentado decir: $\det(1) > 0 \forall k \in \mathbb{R}$ , $\det \left( \begin{array}{rr} 1 &k \\ k & 3 \end{array} \right) > 0 \Leftrightarrow k < \sqrt{3}$ y $\det \left( \begin{array}{rrr} 1 & k & 0 \\ k &3 &-2 \\ 0 &-2 &5 \end{array} \right) > 0 \Leftrightarrow k< \sqrt{\frac{11}{5}}$ .
Desde $\sqrt{\frac{11}{5}} < \sqrt{3}$ tomamos la condición más estricta y decimos que para $\{k \in \mathbb{R} | k< \sqrt{\frac{11}{5}} \}$ el espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3}, \langle , \rangle_{A_k})$ es un espacio euclidiano. ¿Es esto correcto?
También tengo una pregunta sobre la forma en que estoy redactando esto: ¿debo decir "el espacio vectorial" cuando se habla del mismo par con respecto a otros $k$ . Me refiero a asumir que lo que afirmo sobre $k$ es correcto, si $k \geq \sqrt{\frac{11}{5}}$ cómo se podría referir correctamente a esto: $(\mathbb{R}^{3}, \langle , \rangle_{A_k})$ ? Definitivamente no sería cierto decir que $\langle , \rangle_{A_k}$ es un producto escalar al menos (supongo), pero ¿qué clase de espacio vectorial sería ese par si no fuera euclidiano?
Como siempre, cualquier ayuda es muy apreciada :)
