Existe un conocido teorema según el cual un haz principal es trivial si y sólo si admite una sección global. Estoy tratando de entender bien lo que significa este teorema.
La banda de Möbius puede considerarse como un haz principal de $\mathbb{R}$ en $S^1$ . Mi intuición es que no se trata del haz trivial, pero me imagino dibujando una línea a lo largo del centro de la franja. Me parece que esta línea satisface la definición de sección global.
¿Qué hay de malo en esta intuición?
En realidad, la banda de Möbius $M$ no es trivial como un $(\mathbf{R}, +)$ haz principal sobre el círculo $S^{1}$ porque $M$ no es el espacio total de un haz principal con grupo estructural $G = (\mathbf{R}, +)$ en absoluto : No hay una acción continua de $G$ en $M$ reduciendo a la adición en las fibras.
Es probable que la intuición que buscas sea ver $S^{1}$ como el espacio total de un haz principal sobre $S^{1}$ con grupo de estructura $O(1) = \bigl(\{\pm1\}, \cdot\bigr)$ . El mapa de proyección es la doble cobertura $\pi:S^{1} \to S^{1}$ definido por $\pi(e^{it}) = e^{2it}$ .
La banda de Möbius $M$ puede verse como el haz de vectores asociado a la representación multiplicativa de $O(1)$ en $\mathbf{R}$ visto como un espacio vectorial unidimensional. Como era de esperar, este haz principal de "doble cobertura" no es trivial, y no tiene sección continua.
Generalmente, si el espacio total $E$ de un $n$ -admite una acción del grupo aditivo $(\mathbf{R}^{n}, +)$ como traslación en las fibras, es decir, si $E$ admite la estructura de un $(\mathbf{R}^{n}, +)$ principal, entonces $E$ es trivial; la acción del grupo define un marco global de manera obvia.
Si quieres pensar en una tira de Möbius $M$ como de algo parecido al principio $G$ -bundle, puedes hacer lo siguiente. Deje que $G$ sea el $\mathbb{Z}_2$ grupo formado por dos elementos: $\mathbb{Z}_2=\{e,\,a\}$ . Ahora, el fibra típica $F$ de $M$ es sólo un torsor de $G$ (un conjunto sin operación de grupo). En otras palabras, un conjunto de dos puntos, llamémoslos $1$ y $-1$ .
Lo que acabamos de hacer es la sustitución de un $[-1,\,1]$ fibra por un discreto $F=\{-1,\,1\}$ . Piensa en esa nueva banda de Möbius como en el "borde" de una tradicional (que es la $S^1$ pero esto no es importante para nosotros; se puede hacer una revolución completa alrededor de este "borde" sólo una vez que se hacen dos revoluciones alrededor de la base).
Para nuestra "banda de Möbius discreta", está claro por qué la sección transversal ( $=$ la sección global) no puede definirse para dicho paquete. En efecto, después de una revolución se llega al "punto opuesto" que no se puede tomar, ya que, por definición, la sección tiene un solo punto de cada fibra.
La próxima vez que quieras mostrar una tira de Möbius a tus amigos, no tendrás que pegar nada. Basta con que te hagas con un anillo blando de algo, lo retuerzas una vez y ¡ya está!
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