¿Por qué la expresión $\underbrace{n\cdot n\cdot \ldots n}_{k \text{ times}}$ ¿Mal?

Question

Por escribir un artículo (en alemán) sobre el poder con grado natural Tengo la siguiente pregunta:

En la escuela se define la potencia con grado natural a través de

$$n^k = \underbrace{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}_{k \text{ times}}$$

En el cálculo normalmente se utiliza la recursión para introducir la potencia:

$$\begin{align} n^0 & := 1 \\ n^{k+1} & := n \cdot n^k \end{align}$$

Pregunta: ¿Cuáles son las desventajas de la expresión $\underbrace{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}_{k \text{ times}}$ y por qué no se utiliza para definir la potencia en matemáticas avanzadas (aunque es intuitivo)?

Nota: Lo siento, antes tenía una pregunta ambigua. No quiero saber, por qué definimos la potencia. Quiero saber, por qué usamos la recursión y no la expresión $\underbrace{n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}_{k \text{ times}}$ para definir el poder en las matemáticas avanzadas...

Mis ideas hasta ahora:

• $\underbrace{\ldots}_{k \text{ times}}$ no es un operador, que se introdujo antes.
• las definiciones con recursividad conducen naturalmente a un esquema, cómo las propiedades de estos conceptos pueden ser demostradas vía inducción

Answer 1

$n^k = \underbrace{n\cdot n \cdots n}_{k\ \textrm{times}}$ sólo funciona cuando $k$ es un número entero positivo. Para definir la exponenciación de forma más general, debemos refinar la definición de exponenciación varias veces:

• En primer lugar, debemos abordar una definición adecuada para $k = 0$ y $k \in \{-1, -2, \ldots \}$ incluyendo operaciones de la forma $n^{k_1}n^{k_2}$ que se reconcilian con la definición de "multiplicación repetida" cuando $k_1, k_2$ son enteros positivos;
• A continuación, debemos abordar una definición adecuada para $k \in \{ \frac{1}{m} \mid m \in \mathbb{Z} \}$ incluyendo operaciones de la forma $n^{k_1}n^{k_2}$ que se reconcilian con las operaciones similares definidas anteriormente (y al hacerlo, cubrimos el caso más general $k \in \mathbb{Q}$ );
• A continuación, debemos abordar una definición adecuada para $k \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ . Esto resulta ser más complicado de lo que uno podría esperar, uno de estos enfoques es utilizar el lenguaje de los cortes Dedekind.

Por estas razones, la definición de "multiplicación repetida" falla para casi todos los valores interesantes de $k$ . El objetivo es encontrar una definición que se reduzca a la "multiplicación repetida" en el caso especial que $k \in \mathbb{Z}^+$ pero eso funciona de forma más general para todos los números reales cuando la base es positiva.

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Para abordar su edición, que no es algo que realmente he encontrado, pero voy a comentar de todos modos:

Si se define $n^{k+1} = n \cdot n^k$ esta definición es satisfactoria para todo valores de $k$ , suponiendo que has definido la exponenciación de forma rigurosa. Esto difiere de la definición de multiplicación repetida en que se puede partir de un $k$ . Esto es en realidad un paso en el proceso de definición de la exponenciación. De forma más general, queremos declarar que $n^{k_1}n^{k_2} = n^{k_1+k_2}$ independientemente de las clases de números reales a las que $k_1$ y $k_2$ pertenecen. La definición "recursiva" que has presentado es un caso especial de esto.

Answer 2

Porque en ese punto sólo se define la multiplicación de dos números. Además, si aún no está definido que sea asociativo, esa expresión puede ser ambigua.

Answer 3

Por qué escribimos $ab$ en lugar de $$\underbrace{b+b+\cdots+b}_{a \textrm{ times}}~~~?$$

Answer 4

Aunque esto no es la razón que causa la confusión porque la gente tiene sentido común, "..." no está bien definido si se quiere ser quisquilloso.

Por ejemplo $ \{1,2,3,4,...,100\} $ puede significar el conjunto de números naturales menores o iguales a 100 o la imagen de ese conjunto bajo la función $f(n)=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-100)+n$

Definir las cosas utilizando la recursividad elimina la "ambigüedad".